单个正态总体双侧假设检验

1.已知方差σ2,检验H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0,μ0 已知

设(X1,X2,…,Xn)是一个样本,由第6章统计量分布理论知,在H0 成立的条件下,有

由标准正态分布函数表,得临界值uα/2,使即事件是一个小概率事件。由样本值计算统计量的观测值,记为则否定H0;若则接受H0;若通常再进行一次抽样检验。

由于这一检验用到统计量U,因此称为U 检验法,其一般步骤如下所示。

①提出待检验假设和备择假设,H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0。

②选用检验统计量在H0 成立的条件下,有U～N(0,1)。

③对给定的检验水平α,查标准正态分布表,得临界值uα/2,使

确定否定域为(-∞,-uα/2)∪(uα/2,+∞)。

④根据样本观察值计算的观测值,并将其与uα/2比较。

⑤得出结论:若则否定H0;若,则接受H0;若通常再进行一次抽样检验。

例8.2.1 自动包糖机装糖入袋,每袋糖重X 服从正态分布。当机器工作正常时,每袋糖重的均值为0.5kg,标准差为0.015kg。某日开工后,若已知标准差不变,随机抽取9袋,其重量(单位:kg)为

问包装机工作是否正常(α=0.05)?

解 H0:μ=μ0=0.5,H1:μ≠0.5。在H0 成立的条件下,U=,由α=0.05,查标准正态分布表得uα/2=1.96,即由样本值计算得

于是否定H0,即认为这天包装机工作不正常。

2.未知方差σ2,检验H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0,μ0 已知

设(X1,X2,…,Xn)是一个样本,由第6章统计量分布理论知,在H0 成立的条件下,

由给定的检验水平α,查t分布表,得临界值tα/2(n-1),使

即是一个小概率事件。由样本值计算统计量的观测值,记为若则否定H0;若则接受H0;若,通常再进行一次抽样检验。

由于这一检验用到统计量T,因此称为T 检验法,其一般步骤如下所示。

①提出待检验假设和备择假设,H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0。

②选用统计量在H0 成立的条件下T～t(n-1)。

③由给定的检验水平α,查t分布表,得临界值tα/2(n-1),使

确定否定域为(-∞,-tα/2(n-1))∪(tα/2(n-1),+∞)。

④根据样本观察值计算统计量的观测值,并将其与tα/2(n-1)比较。(www.xing528.com)

⑤得出结论:若,则否定H0;若,则接受H0;若,通常再进行一次抽样检验。

例8.2.2 某厂生产钢筋,其标准强度为52kg/mm2,现抽取6个样品,测得其强度(单位:kg/mm2)数据如下:

已知钢筋强度X 服从正态分布,判断这批产品的强度是否合格(α=0.05)。

解 H0:μ=μ0=52,H1:μ≠52。在H0 成立的条件下,T=,由α=0.05,

查t分布表,得临界值tα/2(5)=2.571,即。由样本值计算得

故接受H0,即认为产品的强度与标准强度无显著性差异,就此样本提供的信息来看,产品是合格的。

3.未知均值μ,检验H0:σ2=σ20,H1:σ2≠

设(X1,X2,…,Xn)是一个样本,由第6章统计量分布理论知,在H0 成立的条件下,

由给定的检验水平α,查χ2 分布表,得临界值,使

即事件是小概率事件。由样本观测值计算统计量χ2 的观测值,并将其与比较:若则否定H0;若,则接受H0。

由于这一检验用到统计量χ2,因此称为χ2 检验,其一般步骤如下所示。

①提出待检验假设和备择假设,H0:σ2=σ20,H1:σ2≠σ20。

②选用统计量,在H0 成立的条件下,χ2～χ2(n-1)。

③由给定的检验水平α,查χ2 分布表,得临界值,使

确定否定域为

④根据样本观察值计算,并将其与)比较。

⑤得出结论:若(n-1)或(n-1),则否定H0;若),则接受H0。

例8.2.3 某炼铁厂的铁水含碳量X 服从正态分布。现对操作工艺进行了某种改进,从中抽取5炉铁水,测得含碳量数据如下:

是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.1082(α=0.05)?

解 H0:σ2=σ20=0.1082,H1:σ2≠0.1082。在H0 成立的条件下,χ2=由α=0.05,查χ2 分布表,得临界值根据样本观察值计算

故否定H0,即不能认为方差是0.1082。

本节中的3种类型的否定域均为双侧区间,这种参数的假设检验称为双侧检验,此时常省略备择假设H1。8.2.2节中的3种类型的否定域均为单侧区间,这种参数的假设检验称为单侧检验。