概率论与数理统计-显著性检验

对于假设H0 对H1 检验问题,表征检验准则优劣的有如下3个量:样本容量n,第一类错误概率的上限α,第二类错误概率的上限β。显然,3个量(n,α,β)都是越小越好。然而,由于检验做出的判断所依赖的样本具有随机性,同时完全控制3个量(n,α,β)是做不到的,因此必须在三者之间进行权衡来选择检验准则。解决问题有多种途径,显著性检验是实际应用中最常用的一种。所谓显著性检验,是基于“小概率原则”控制第一类错误概率的一种检验方法。

因为在事先固定样本容量n的情况下,在各种可供选择的检验中,一般会选择两类错误概率都满足要求的检验准则,然而构造两类错误概率同时小的检验是困难的,所以在假设检验的多数应用中,通常先控制第一类错误概率,再考虑控制第二类错误概率。第二类错误概率因涉及备择假设的具体形式一般难以计算,有时甚至无法计算。通常,在第一类错误概率不大于给定上限α的检验准则中,选择第二类错误概率最小或在一定条件下最小的检验。只控制第一类错误概率的检验称作显著性检验,选定的第一类错误概率的上限α称作检验的显著性水平,相应的检验称作水平α 显著性检验。

下面讨论显著性检验否定域的构造,以及显著性检验的一般程序。

1.小概率原则

构造显著性检验的否定域一般依据所谓的“小概率原则”:指定一个可以认为是“充分小”的正数α(0＜α＜1),并且认为凡是概率不大于α 的事件R 是“实际不可能事件”,即认为这样的事件在一次试验或观测中实际上不会出现。对于只控制第一类错误概率的显著性检验,小概率原则中所规定的概率上界α称作检验的显著性水平。检验的显著性水平α的具体值选取应根据实际问题的具体要求而定。若事件R 的出现将造成严重后果或重大损失(如飞机失事、沉船),则α应选得小一些,否则可以选得大一些。常选α=0.001,0.01,0.05,0.10等。这种几乎划一的选法,除了为制表方便外,并无其他特别意义。

2.显著性检验的否定域

设H0 是关于总体X 的假设,(X1,X2,…,Xn)是来自X 的简单随机样本。对于水平α显著性检验,H0 的否定域V 应满足条件:在H0 成立的条件下样本值属于否定域V 的概率不大于α,即

这样,在水平α下可以认为R 是实际不可能事件,因此当R 出现时,即当样本值属于否定域V 时,否定H0。这时检验的第一类错误概率不会大于α。(www.xing528.com)

否定域通常由检验的统计量T 来构造:首先在假设H0 成立的条件下,求出T 的抽样分布,然后根据给定的显著性水平α,利用相应的数值表求出决定H0 取舍的临界值(或分位数)λα。

3.显著性检验的一般程序

①提出原假设:把欲考察的问题以原假设H0 的形式提出,并且在做出最后的判断之前,始终在假定H0 成立的前提下进行分析。

②构造检验统计量:根据具体问题,在估计的基础上构造合适的检验统计量。

③建立否定域:建立假设H0 的水平为α(0＜α＜1)的否定域。

④做出判断:进行简单随机抽样,获得样本值,若样本值属于否定域V,则否定假设H0,否则接受H0。

注意,在H0 成立的条件下,由于“样本值属于否定域V”是“实际不可能事件”,即在H0 成立的条件下实际上不会出现,因此它的出现表明H0 实际上不成立,故应否定H0。然而,“样本值不属于否定域V”,只说明抽样结果与假设H0 不矛盾,故应做出“不否定H0”的决定,但是原则上没有理由做出“接受H0”的决定,因为我们并不知道“接受H0”接受错了的概率——第二类错误概率。不过,常用的一些显著性检验都是经过统计学家精心研究和选择的,一般在给定的显著性水平下(在一定条件下)第二类错误概率都是最小的。