大样本下总体均值的区间估计-概率论与数理统计

设总体X 的分布是任意的,均值μ=E(X)和方差σ2=D(X)都是未知的,用样本(X1,X2,…,Xn)对总体平均数μ 作区间估计。

由概率论中的中心极限定理可知,不论所考察的总体分布如何,只要样本容量n 足够大,样本均值近似地服从正态分布。又近似地服从标准正态分布N(0,1),在n很大时,σ可用样本标准差S 近似,且上式中σ换成S 后对它的分布影响不大,故当n很大时,

仍近似地服从标准正态分布。给定1-α,可找到使

于是μ 的置信区间是

而置信度(近似)等于1-α,需要指出,求置信区间对n很大的样本适用,这是由于导出u 的近似分布用到了中心极限定理。n 多大的样本可以认为是大样本呢? 严格地讲,这取决于u 的分布收敛到标准正态分布的速度,而收敛速度又与总体分布有关,中心极限定理没有对这个问题做出解释。实际经验一般认为n≥50的样本是大样本。

例7.3.7 某市为了解该市民工的生活状况,随机抽取了100个民工进行调查,得到民工月平均工资为630元,标准差为80元,试在95%的概率保证下,对该市民工的月平均工资作区间估计。

解 按题意n=100,可以认为是大样本。,故用样本均值x作为总体均值μ的估计,其标准误差的估计值为

由于该样本是大样本,样本均值的概率分布可看作正态分布,在置信概率1-α=95%的条件下,查标准正态分布概率表得上侧分位数由此得估计的误差限为8=15.68元,故可得出该市民工的月平均工资μ 的置信区间为

即(614.32,645.68),这表明在95%的概率保证下,可以认为该市民工的月平均工资为614.32～645.68元。(www.xing528.com)

下面考察总体X 服从二点分布B(1,p)的情形,其分布律为P{X=1}=p,P{X=0}=1-p,从总体中抽取一个容量为n的样本,其中恰有m 个“1”,现对p 作区间估计。此时,

在上式的推导中,需注意Xi 仅能取“1”和“0”,把这些量代入式(7.3.12),得p 的置信区间是

而置信度为1-α。

例7.3.8 从一大批产品中随机地抽出100个进行检测,其中有4个次品,试以95%的概率估计这批产品的次品率。

解 记次品为“1”,正品为“0”,次品率为p。总体分布是二点分布B(1,p),根据题意,n=100,m=4,由1-α=0.95得,利用式(7.3.13)得置信下限

置信上限

故置信区间是(0.002,0.078)。

需要指出,上面介绍的两种情况均属于总体分布为非正态分布的情形,如果样本容量较大(一般n≥50),可以按正态分布来近似地求其未知参数的估计区间,如果样本容量较小(一般n＜50),不能用上述方法求参数的估计区间。