简单随机样本的定义与特点

总体的一部分个体的集合作为总体的“代表”称作样本,有时样本指总体的一部分个体的标志值的集合。例如,对于1000袋食盐的总体,从中抽出n 袋食盐,则抽到的各袋食盐的重量就构成一个样本;对于上海市历年夏季的总体,记录上海市n 个夏季暴雨次数,所得n 个数据就是一个样本。

1.简单随机样本

定义6.1.1 设X 是所要研究的随机变量,则对X 的n 次独立重复观测可得n 个相互独立并且与X 同分布的随机变量(X1,X2,…,Xn)。那么,称X 为总体;称(X1,X2,…,Xn)为来自总体X 的一个简单随机样本,简称样本;称Xi(i=1,2,…,n)为对总体X 的第i 个观测值;称观测值的个数n为样本容量;(X1,X2,…,Xn)的具体值(x1,x2,…,xn)称为一个样本值,或称作样本(X1,X2,…,Xn)的一个实现。

抽取样本的目的是对总体的分布规律进行各种分析和推断,因而要求抽取的样本要能够很好地反映总体的特性和变化规律,这就必须对随机抽样方法提出一定的要求。通常提出以下两点。①代表性:即要求样本的每个分量Xi 与所考察的总体具有相同的分布;②独立性:即要求(X1,X2,…,Xn)为相互独立的随机变量,也就是说,每个观察结果既不影响其他结果,也不受其他观察结果的影响。满足以上两点性质的样本(X1,X2,…,Xn)称为简单随机样本,获得简单随机样本的方法或过程称为简单随机抽样。本书所讨论的样本都是指简单随机样本。

2.样本的分布

只考虑离散型和连续型总体。设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X 的容量为n 的简单随机样本,即X1,X2,…,Xn 是n 个独立且与总体X 同分布随机变量。

(1)概率函数

为方便计算,把连续型总体和离散型总体的概率分布,都用概率函数的形式表示。对于连续型总体X,概率函数p(x)就是其概率密度;对于离散型总体X,概率函数p(x)表示事件“X取x 为值”的概率:

(2)简单随机样本的概率函数

用概率函数表示简单随机样本的概率分布。简单随机样本(X1,X2,…,Xn)的概率函数是一个n元函数f(x1,x2,…,xn)。由于X1,X2,…,Xn 独立同分布,可见对于任意-∞＜x1,x2,…,xn＜∞,有(www.xing528.com)

例6.1.1 假设总体X～N(μ,σ2),而(X1,X2,…,Xn)是来自总体X 的简单随机样本。由于X1,X2,…,Xn 独立同分布,可见对于任意-∞＜x1,x2,…,xn＜∞,(X1,X2,…,Xn)的联合密度为

例6.1.2 假设总体X 服从参数为λ 的指数分布,求来自总体X 的简单随机样本(X1,X2,…,Xn)的概率分布。

解 总体X 的概率密度为

由于X1,X2,…,Xn 独立同分布,可见(X1,X2,…,Xn)的联合概率密度为

例6.1.3 假设总体X 在区间[0,θ]上服从均匀分布,而(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的简单随机样本。总体X 的概率密度函数为

由于X1,X2,…,Xn 独立同分布,可见(X1,X2,…,Xn)的联合密度为

例6.1.4 假设总体X 服从参数为p 的0-1分布,而(X1,X2,…,Xn)是来自总体X 的简单随机样本。总体X 的分布律为

由于X1,X2,…,Xn 独立同分布,可见(X1,X2,…,Xn)的联合分布律为

其中νn 是(x1,x2,…,xn)中“1”的个数。