概率论与数理统计：相关系数ρ的重要性

1.相关系数的概念

定义4.3.2 设(X,Y)为二维随机变量,若Cov(X,Y),D(X),D(Y)都存在,且D(X)D(Y)≠0,则称

为X 与Y 的相关系数。

相关系数ρXY 是表示随机变量X 与Y 之间线性相关程度大小的一个特征量,其意义可从相关系数的下列性质看出。

2.相关系数的性质

①若随机变量X 与Y 相互独立,则X,Y 不相关,即ρXY =0。

注意:一般情况下所说的不相关,是指X 与Y 之间没有线性关系,但它们之间并非无关系。也就是说,若X 和Y 相互独立,则ρ=0;但是,当ρ=0时X 和Y 却未必独立。

②设ρXY 是随机变量X,Y 的相关系数,则

证明 因

而

于是2(1±ρXY)≥0,故

③若随机变量X 与Y 存在线性关系,即Y =kX+b,则

证明 设Y =kX+b(k,b为常数且k ≠0),则

于是

故

例4.3.2 设随机变量(X,Y)的分布密度为(www.xing528.com)

证明:X 与Y 不相关,也不相互独立。

证明 因为当|x|＞1时,f(x,y)=0,所以

当时,

即

同理可得

显然f(x,y)≠fX(x)·fY(y),即X,Y 不相互独立。

下面证明Cov(X,Y)=0。

因

所以Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,故X,Y 不相关。

例4.3.3 设X～N(0,1),Y=X2,求X 与Y 的相关系数。

解 因X～N(0,1),故E(X)=0。

而

故Cov(X,Y)=0,即ρ=0。

此例中,虽然Cov(X,Y)=0,X 与Y 不相关,但是也不独立,因为Y 是由X 通过函数关系决定的,且这种关系不是线性的。