概率的数学定义与概率论与数理统计相关

在理论研究中概率的概念非常重要,因为我们不可能对每一个事件都做大量重复试验。在历史上,雅各布·伯努利(1654～1705)是第一个对“当试验次数n 逐渐增大,频率稳定在其概率p 上”这一论断给予严格意义和数学证明的学者,本书在第5章将给出证明。仿照频率的定义给出概率的数学定义。

定义1.3.3 设E 是随机试验,Ω 是它的样本空间,对于E 的每一个随机事件A 定义一个实数P(A),如果集合函数P(·)满足以下3个条件,就称P(A)是随机事件A 的概率。

条件1,非负性:对于每一个事件A 都有P(A)≥0;

条件2,规范性:对于必然事件Ω 都有P(Ω)=1;

条件3,可列可加性:设事件A1,A2,…是两两互不相容事件,即AiAj=∅,i≠j,i,j=1,2,…,有:P(A1∪A2∪…∪Ak∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(Ak)+…。

第5章将证明n→∞时频率fn(A)在一定意义下接近随机事件A 的概率P(A),进而从数学意义上说明概率P(A)来表征事件A 在一次试验中发生可能性的大小。(www.xing528.com)

我们不加证明地给出概率的性质:

①P(∅)=0;

②0≤P(A)≤1;

③设事件A1,A2,…,An 是两两互不相容事件,即AiAj=∅,i≠j,i,j=1,2,…,n,有:P(A1∪A2∪…∪Ak∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(Ak)+…+P(An)