【摘要】：由经典迭代理论可知，对于一个正定的线性系统，在区间（0，2）之间选择松弛因子，都可以确保迭代的收敛，区别仅在于收敛速度的快慢。本节采用Soares等人[88]提出的最优松弛因子理论，通过研究随着迭代过程中边界位移解的逼近方向变化，实现松弛因子的自适应调节。整理式可以得到使得泛函 f（γ）意义下的最优松弛因子导出式，如式所示。
由经典迭代理论可知，对于一个正定的线性系统，在区间（0，2）之间选择松弛因子，都可以确保迭代的收敛，区别仅在于收敛速度的快慢。然而由于耦合系统自身的病态和非正定性质，使得松弛因子的选择对迭代求解的收敛至关重要，不适当的松弛因子可能导致迭代收敛缓慢甚至是失败。Gebeily等人[130]在对弹性力学问题的有限元-边界元仿真中对松弛因子与迭代收敛性的关系进行了研究，发现当松弛因子取值属于（0，2）内某个子区间时，可使迭代以快速收敛，但该子区间的上、下限受到有限元、边界元网格规模比例、矩阵元素幅值关系等一系列因素的影响，此外，由于本文研究的声振预报方程为复值方程，松弛因子的取值范围也在复数空间内，上述结论无法直接适用。本节采用Soares等人[88]提出的最优松弛因子理论，通过研究随着迭代过程中边界位移解的逼近方向变化，实现松弛因子的自适应调节。
由ODDM理论可知，当迭代获得收敛时，界面位移解满足关系式（4-19）。
据此定义泛函 f（γ），如式（4-20）所示。
考虑迭代的第k步，带入式（4-18）中得到边界位移的更新表达式：(https://www.xing528.com)
将（4-18）和（4-21）带入（4-20）中，得到：
其中uBk=uBk - uBk ，eF，Ok=uF，Ok - uF，Ok-1 ，（eBk，eF，Ok）为两个向量的内积。为了使泛函 f（γ）取得极小值，应令（4-22）右侧对g的求导结果为零，如式（4-23）所示。
整理式（4-23）可以得到使得泛函 f（γ）意义下的最优松弛因子导出式，如式（4-24）所示。
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