水下结构振动有限元方程-预报技术引论

图2.1　有限元网格示意图
Fig2.1　diagrammatic sketch of finite element mesh set

设有一任意结构V，对其进行有限元网格划分，得到n个实体单元，如图2.1所示。对其中任意单元i，都可以利用式（2-1）导出刚度矩阵Kei以表征其弹性，用式（2-2）导出质量矩阵Mei以表征其惯性。借助自由度转换矩阵Gi使各单元自由度编号统一，从而将单元矩阵组装称为结构总体矩阵的过程如式（2-3）所示。

B为表征单元各个节点应变与位移关系的应变矩阵，表征D为材料弹性性质的弹性矩阵，ρ为材料密度，N为单元的插值函数矩阵，K、M分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵，vi为单元i所占据的区域。由（2-1）-（2-3）可知，有限元矩阵K和M具有以下性质：

1）对称性，K=KT，M=MT；

2）如果两个节点不处于同一个单元中，则它们的自由度不存在直接的耦合关系，对应的矩阵元素为零，因此矩阵为稀疏矩阵，且非零元素呈带状分布；

3）M为正定矩阵，当不存在位移约束时，K为半正定矩阵。

S在真空中受谐和力激励的稳态振动问题的有限元方程如式（2-1）所示，其中f0为激励力的幅度分布向量，u为振动响应向量，ω为激励频率，t为时间。(www.xing528.com)

当采用瑞利阻尼理论时，阻尼矩阵C为刚度矩阵、质量矩阵的线性组合，如式（2-5）所示，其中α和β为频率无关的阻尼因子。

当结构浸没在流体中时，则在结构与流体的交界面S上，结构、流体间的相互作用可用声压对结构施加的面力表达。由于水属于重质流体，其特性阻抗相对于结构而言，大到了不可忽略的地步，因此在考虑水下结构的振动、声辐射问题时，流体对结构振动的影响是必须考虑的因素。利用虚功原理导出流固耦合矩阵F，即可将S上的面力等效到节点上，得到流固界面上声压已知时的结构振动方程：

其中p0为声压分布向量。由于本文将讨论范围限制在频域中，因此可约去式（2-6）中的时间因子，得到耦合振动方程如式（2-7）所示。

简单的观察式（2-7）可以知道，结构振动的有限元方程满足对称性和带状稀疏性，但是否具备正定性还要受到频率的影响。对于任意给定的激励和声压分布向量，利用稀疏LU分解和法方程共轭梯度法[101]都可以对结构的振动幅值分布进行快速求解。