Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成L 2（R）的规范正交基，才使小波得到真正的发展。1988年S.Mallat在构造正交小波基时提出了多分辨分析 （Multi-Resolution Analysis）的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，将此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变换的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅里叶变换算法在经典傅里叶分析中的地位。
定义8.1 （多分辨分析） 空间L 2（R）中的多分辨分析是指L 2（R）中满足如下条件的一个空间序列{Vj}j∈Z。
（1）单调性。Vj∈Vj+1，对任意j∈Z。
（3）伸缩性。f（t）∈Vj⇔f（2t）∈Vj+1；伸缩性体现了尺度的变化、逼近正交小波函数的变化和空间的变化具有一致性。
（4）平移不变性。对任意k∈Z，有φj（2-j/2t）∈Vj⇒φj（2-j/2t-k）∈Vj。
（5）Riesz基存在性。存在φ（t）∈V0，使得{φ（2-j/2t-k）|k∈Z}构成Vj的Riesz基。
多分辨分析的概念给出了人类视觉系统对物体认识的数学描述。实际上，如果把Vj当作某人在某种尺度j下所观察到的该物体信息，则当尺度增加到j+1时，他所观察到的信息为Vj+1，此时认为是他进一步靠近目标所观察到的信息，因此Vj+1所表示的信息应该比Vj更为丰富，即Vj⊆Vj+1。总之，尺度越大，距离目标越近，观察到的信息就越丰富，反之，尺度越小，距离越远，含有的信息量就越少。由于物体的局部细节有时候显得更为重要，因此，通过对补空间的研究从而了解细节显得非常重要。
根据Vj⊆Vj+1以及Vj+1=Vj⊕Wj，建立尺度函数方程的关系式。
定理8.1 假设{Vn；n∈Z}为一个具有尺度函数φ的正交多分辨分析，则下列尺度关系式成立
式 （8-90）有时等价地表示为
双尺度方程式（8-89）中系数应满足的关系，由定理8.2给出，在小波的构造与应用中具有重要意义。
定理8.2 假设{Vn；n∈Z}为一个具有尺度函数φ的正交多分辨分析，则下列等式成立。
详细证明过程请参考相关书籍。(www.xing528.com)
一般情况下利用上面定义的多分辨分析进行信号的分解和重构，Mallat在1989年所做的相关工作如下。
定理8.3（S.Mallat） 假设（Vm；m∈Z）；φ（t）是一个正交多分辨分析，则存在{hk}∈l 2使得下面的双尺度方程
成立，并且利用式（8-92）得到的尺度函数φ（x）构造函数
Mallat定理主要包含3个方面的内容：
（3）Wj⊥Wj′，j≠j′，可以保证在彼此正交的前提下当且仅当地表示信息。
根据Mallat定理，可以进一步讨论在多分辨分析柜架下利用小波变换表示信号的问题。
而其中的部分和满足
式 （8-96）可以看做是信号的一种按频率段的分解。
更进一步地，如果只希望知道信号f不超过频率j相关的所有信息，则该信息具有表达式
如果在定义8.1中条件（3）的伸缩性表示为
其中M 为不小于2的自然数，则定理8.1的双尺度方程相应变为
而关于小波函数构造的式（8-93）则被下列M-1个方程所代替
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