连续小波变换在河川信息解读中的应用

设x（t）是平方可积函数，x（t）∈L 2（R），ψ（t）是被称为基本小波或母小波（Morther Wavelet）的函数，小波变换的含义是：把ψ（t）作位移b后，在不同尺度a下与待分析信号x（t）作内积

式 （8-75）中不但t是连续变量，而且a和b也是连续变量，因此上式称为连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，简记为CWT）。

小波变换区别于傅里叶变换，拉普拉斯变换的一个特点是没有固定的核函数，不是任何函数都可用作小波变换的基本小波ψ（t），这个函数必须满足一定的条件，即 “容许性条件”（Admission Condition），反变换才存在，任何变换都必须存在反变换才有实际意义。

容许性条件为

当满足上述条件时，才能由小波变换WTx（a，b）反演源函数x（t）。

正规性条件（Regularity Condition）：满足容许性条件的ψ（t）便可以用作基本小波，但实际上往往要求更高些，对ψ（t）还要求满足 “正规性条件”，以便Ψ（ω）在频域上表现出较好的局域性能。为了在频域上有较好的局域性，要求|WTx（a，b）|随a的减小而迅速减小，这就要求ψ（t）的前n阶原点矩为0，且n值愈高愈好，即要求

此要求的相应频域表示为：Ψ（ω）在ω=0处有高阶零点，且阶次愈高愈好，即

式 （8-78）和式（8-79）称为正规性条件。

连续小波变换具有以下重要性质：(www.xing528.com)

（1）线性性。一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。

（2）平移不变性。若f（t）的小波变换为Wf（a，b），则f（t-τ）的小波变换为Wf（a，b-τ）。

（3）伸缩共变性。若f（t）的小波变换为Wf（a，b），则f（ct）的小波变换为

（4）自相似性。对应不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似的。

（5）冗余性。连续小波变换中存在信息表述的冗余度（Redundancy）。

小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：

一方面，由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。即信号f（t）的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅里叶变换与傅里叶反变换是一一对应的。

另一方面，小波变换的核函数即小波函数Ψa，b（t）存在许多可能的选择，可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的。