解读河川径流信息密码：8种常用小波

小波函数的种类很多，小波函数具有不唯一性，即小波函数Ψ（ω）具有多样性。但小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题是最优小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前，主要通过根据小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。

根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标准通常有：

（2）对称性。它在图像处理中对于避免移相是非常有用的。

（3）Ψ和φ（如果存在的情况）的消失矩阶数。它对于压缩是非常有用的。

（4）正则性。它对信号或图像的重构获得较好的平滑效果是非常有用的。

在众多的小波基函数的家族中，有一些小波函数被实践证明是非常有用的。几种常用的基本小波有Haar小波、样条小波 （Spline Wavelet）、Daubechies小波、Morlet小波、Marr小波等，下面分别加以介绍。

8.4.2.1　Haar小波

Haar函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数。Haar函数的定义为

8.4.2.2　Daubechies（db N）小波系

Daubechies函数是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies构造的小波函数，除了db1 （即Haar小波）外，其他小波没有明确的表达式，但转换函数h的平方模是很明确的。

Daubechies小波函数提供了比Haar函数更有效的分析和综合。Daubechies系中的小波基记为db N，N 为序号，且N=1，2，…，10。

8.4.2.3　Biorthogonal（bior Nr.Nd）小波系

Biorthogonal函数系的主要特性体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。Biorthogonal函数系通常表示为bior Nr.Nd的形式

式中：r表示重构（Recostruction），d表示分解（Decomposition）。

8.4.2.4　Coiflet（colf N）小波系

Coiflet函数也是由Daubechies构造的一个小波函数，它具有coif N （N=1，2，3，4，5）这一系列。Coiflet具有比db N 更好的对称性。从支撑长度的角度看，coif N 具有和db3N 及sym3N 相同的支撑长度，从消失矩的数目来看，coif N 具有和db2N 及sym2N 相同的消失矩数目。

8.4.2.5　SymletsA （sym N）小波

Symlets函数是由Daubechies提出的近似对称性的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlets函数系通常表示为sym N （N=2，3，…，8）的形式。(www.xing528.com)

8.4.2.6　Morlet（morl）小波

Morlet小波是使用最普遍的复值小波，Morlet小波在复值小波中的地位正如Maar小波在实值小波中的地位，其应用十分广泛，其母函数为

这是一个相当常用的小波，是经高斯 （Gauss）函数平滑而得到的谐波。因为它的时、频两域的局部性能都比较好 （虽然严格地说它并不是有限支撑的），它也不满足容许条件，不过实际工作时，当ω0取较大值时（ω0≥5），便近似满足条件，上式中的第二项远远小于第一项，省略第二项将不会影响分辨结果的可靠性，则上式简化为

设伸缩因子为a，平移因子为b，则小波变换的母小波函数定义为

8.4.2.7　Mexican Hat（mexh）小波

Mexican Hat函数为

它是Gauss函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西哥帽函数。墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并满足

由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。

8.4.2.8　Meyer小波

Meyer小波的小波函数Ψ和尺度函数φ都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。

式中：v（a）为构造Meyer小波的辅助函数，且有

8.4.2.9　Battle-Lemarie小波

Battle-Lemarie小波具有两种形式，一种具有确定的正交性，一种不具有确定的正交性。当N=1时，尺度函数是线性样条函数；当N=2时，尺度函数是具有有限支撑的B样条函数。更一般的情况，对于一个N 次B样条小波，尺度函数为

当N 为奇数时，k=0；当N 为偶数时，k=1。

它的双尺度关系为

当N 为偶数时，φ是对称的，x=1/2；当N 为奇数时，φ是反对称的，x=0。