采用黄河干流的三个水文站，即兰州站、三门峡站、花园口站1919～1997年79年天然年径流序列，将花园口站径流序列作为母序列，三门峡站径流序列作为子序列1，兰州站径流序列作为子序列2，应用本文提出的灰谱理论计算三站径流变化的六个灰谱指标，见表8-2和图8-1～图8-6，研究黄河中、上游径流对黄河下游径流的影响，并提取出径流变化的主要周期。
表8-2中符号说明：
P11——花园口站径流序列的功率谱；
P22——三门峡站径流序列的功率谱；
P33——兰州站径流序列的功率谱；
P12——花园口站与三门峡站径流序列的灰余谱；
P13——花园口站与兰州站径流序列的灰余谱；
Q12——花园口站与三门峡站径流序列的灰求积谱；
Q13——花园口站与兰州站径流序列的灰求积谱；
R12——花园口站与三门峡站径流序列的灰凝聚谱；
R13——花园口站与兰州站径流序列的灰凝聚谱；
θ12——花园口站与三门峡站径流序列的灰相位谱；
θ13——花园口站与兰州站径流序列的灰相位谱；
L12——花园口站与三门峡站径流序列的灰落后时间长度；
L13——花园口站与兰州站径流序列的灰落后时间长度。
8.3.10.1 黄河上中下游径流序列的周期
取m=26，图8-1所示为黄河三站的功率谱，根据功率谱的大小提取出四个主要周期，见表8-3。
从图8-1和表8-2～表8-3中，得知黄河下游径流序列有四个主周期，第一周期为2.00年，第二周期为3.47年，第三周期为2.89年，第四周期为3.06年，第一周期至第四周期的振幅分别为0.11305、0.07805、0.06714和0.06483，呈递减趋势；黄河中游径流序列第一周期为2.00年，第二周期为2.89年，第三周期为3.47年，第四周期为4.33年，第一周期至第四周期的振幅分别为0.11653、0.08264、0.07632和0.07557，呈递减趋势；黄河上游径流序列的第一周期至第四周期分别为2.00年、3.47年、4.33年和3.06年，第一周期至第四周期的振幅分别为0.09973、0.08338、0.07915和0.07624，也呈递减趋势。即四个周期中第一周期的振幅最大，依次递减，第四周期的振幅最小，表明第一周期的振荡能量最强，对径流序列的变化贡献最大。
表8-2 三站径流序列灰谱分析计算结果
图8-1 黄河干流三站径流序列功率谱
图8-2 花园口与三门峡和兰州站径流序列灰余谱
图8-3 花园口与三门峡和兰州站径流序列灰求积谱
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图8-4 花园口与三门峡和兰州站径流序列灰相位谱
图8-5 花园口与三门峡和兰州站径流序列落后时间长度
图8-6 花园口与三门峡和兰州站径流序列灰凝聚谱
表8-3 黄河三站径流时间序列的主周期及振幅
黄河上中下游第一周期均为2年，第二周期至第四周期略有不同，四个主要周期的范围为2～5年，可见径流变化是以2～5年的周期频繁波动的。
8.3.10.2 周期显著性检验
表8-4 检验结果
花园口站第一和第二主周期均通过x 2和F检验，三门峡站四个主周期均通过F检验，第一主周期通过x 2检验，兰州站四个主周期均通过F检验，第一和第二主周期通过x 2检验。
8.3.10.3 下游与中游、下游与上游径流变化灰协谱分析
灰协谱反映两序列谱的同向变化成分，从表8-2和图8-2可知，下游与中游径流序列、下游与上游径流序列在不同的频率段有不同的相关关系。下游与中游的径流变化在2年、3.47年、2.89年、4.33年的周期有很强的同相位正相关关系；下游与上游的径流变化在2年、3.47年、4.33年、2.89年的周期有很强的同相位正相关关系。下游与中游存在同相位正相关的周期段比下游与上游存在同相位正相关的周期段的时间要长，表明下游与中游径流变化趋势的一致性更强。
8.3.10.4 下游与中游、下游与上游径流变化灰求积谱分析
灰求积谱反映两序列谱的反向变化成分，从表8-2和图8-3可知，下游与中游的径流变化在长周期10.4年和8.67年及短周期2.36年和3.71年的周期有很强的反相位正相关关系；下游与上游的径流变化在长周期52年及短周期2.74年、4.33年和4.73年的周期有很强的反相位正相关关系。灰求积谱值的变化比灰协谱值的变动较频繁，正负值交替变化，说明下游与中游、下游与上游径流序列的反相位的变化比同相位的变化频繁。
8.3.10.5 下游与中游、下游与上游径流变化灰相位谱分析
从图8-4看出，花园口站与三门峡站在不同的周期段，下游与中游在不同的周期段，有时下游超前中游，有时落后中游，下游比中游最大超前了0.3757弧度，最大落后了0.1694弧度，下游径流变化落后中游的最长时间为0.35年，超前中游的最长时间为0.91年；下游与上游也存在这样的变化规律，下游比上游最大超前了1.5665弧度，最大落后了1.4428弧度，
8.3.10.6 下游与中游、下游与上游径流变化灰落后时间长度谱分析
上面分析了下游比中游及下游比上游超前或落后的相角，那相角对应多长时间呢？灰落后时间长度谱回答的就是这个问题。
图8-5及表8-2显示，下游与中游落后时间长度在0.91～-0.35年之间，下游径流变化落后中游的最长时间为0.35年，超前中游的最长时间为0.91年。下游与上游落后时间长度在8.19～-1.71年之间，下游径流变化落后上游的最长时间是1.71年，超前上游的最长时间8.19年。
8.3.10.7 下游与中游、下游与上游径流变化灰凝聚谱分析
分析表8-2及图8-6可得，花园口站与三门峡站凝聚谱中，灰凝聚谱值较高的周期有2年、4.33年、2.89年和3.06年，对应振幅分别为0.10559、0.06184、0.06580和0.06095，说明黄河下游与黄河中游在2～5年的短周期有十分密切的波动关系。
花园口站与兰州站凝聚谱中，灰凝聚谱值较高的周期从大到小是7.43年、2年、4.33年和3.47年，对应振幅分别为0.00397、0.09719、0.05754和0.06571，说明黄河下游与黄河上游在2～8年的周期有十分密切的波动关系。
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