【摘要】：傅里叶级数展开要求周期函数满足狄里希利充分条件，函数作傅里叶变换也要求满足一定的条件。f称为F（ω）的傅里叶逆 （反演）变换，通过式将连续谱分量合成原函数。由此可见，傅里叶变换和傅里叶逆变换与傅里叶级数展开和傅里叶级数合成的意义十分类似。
8.3.4.1 傅里叶变换
对函数式f（t）作连续谱分析，即对f（t）作傅里叶变换，求取F（ω）。傅里叶级数展开要求周期函数满足狄里希利充分条件，函数作傅里叶变换也要求满足一定的条件。狄里希利充分条件为：
（1）函数f（t）只含有限个极大值和极小值。
（2）函数f（t）只含有限个第一类间断点。
（3）函数f（t）是绝对可积的，即
凡满足这三个条件的函数f（t），其傅里叶变换一定存在，即关系成立。
以p代替式（8-13）中的t，并代入式（8-12）得
因此，θ（ω），c（ω）分别为相位和波幅。
展开式（8-17）并应用上述关系化简得(www.xing528.com)
F（ω）称为函数f（t）的傅里叶变换，通过式（8-19）可将时间（或空间）域函数f（t）转换为频谱域函数F（ω）。f（t）称为F（ω）的傅里叶逆 （反演）变换，通过式（8-18）将连续谱分量合成原函数。f （t）与F（ω）组成所谓的傅里叶变换对，一般写作f（t）↔F（ω）。
由此可见，傅里叶变换和傅里叶逆变换与傅里叶级数展开和傅里叶级数合成的意义十分类似。它们是能谱（功率谱）分析的数学基础。
8.3.4.2 能谱 （功率谱）分析
由物理学中我们知道，能量、功和功率与位移的平方成正比。在波谱分析中，经常应用下面几个概念及其谱展开式对函数f（t）作谱分析。
f（t）的瞬时功率为f 2（t）；
式中：F*（ω）为F（ω）的共轭复数。
利用傅里叶级数能够将周期函数展开为无穷多个频率为基频整数倍的谐振动之和，而傅里叶变换则能将非周期函数表示为无穷连续频域区间上的积分和，上述各种谱分析的基础是函数f（t）的傅里叶变换F（ω）。
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