谱估计的发展成果河流信息解读理论与实践

谱估计的基本问题是，给定平稳过程的一个数据记录，要由此估计其功率谱密度函数。谱估计是随机信号处理中一个极其重要的方面。自20世纪40年代以来，谱估计受到了广泛的关注和研究。其结果首先是产生了周期图分析，随后是以参数估计为主流的其他一些谱估计方法的出现。通常将周期图分析称为古典谱估计方法，而其后出现的一些较新的方法称为现代谱估计方法。谱估计至今仍是一个活跃的研究领域，而古典的周期图分析也仍作为一种常规的谱估计方法在实际中广泛应用。

1807年12月21日，法国工程师傅里叶 （J.Fourer）在该国科学院演讲时，提出了著名的傅里叶变换，它不仅是数学上最伟大的成就之一，也给科学技术带来了进步和繁荣。在信号分析与处理中，傅里叶变换是常用的一种分析工具。

采用傅里叶变换进行频谱分析是舒斯特 （A.Schuster）在1898年首先提出的。他用一个傅里叶序列来拟合太阳耀斑的变化，对观测数据序列{xn，n=1，2，…，N}首先提出了周期图（Periodogram）术语，定义为

以发现观测数据中的“隐周期性”。例如，时间序列由角频率ω0的正弦信号与噪声叠加而成，则周期图在ω=ω0处会出现一个峰值。这样，通过计算周期图，由各峰值就可显示出正弦频率的位置。

1930年，维纳（N.Wiener）在他发表的论文 《广义谐波分析》中，引入了随机过程的自相关函数及其傅里叶变换和功率谱密度之间的关系，并证明自相关函数和功率谱互为傅里叶变换，如今称之为维纳—辛钦定理。这项工作建立了使用傅里叶变换方法处理随机过程的理论体系，是傅里叶变换使用上的一个里程碑，也是谱分析开拓性工作的第二步。1934年，A.Ya.Khinchin也独立地定义过一个类似的关系。

1958年，布莱克曼（R.B.Blackman）和图基（J.W.Tukey）发表了论文《由通信工程观点对功率谱的测量》，给出了用维纳相关法从抽样数据序列得到功率谱的实现方法。该方法首先根据信号序列估计其自相关函数值，然后将自相关估计值乘以窗函数，最后对加窗延迟估计值作傅里叶变换得到功率谱估计。这种方法简称为BT法，直到1965年快速傅里叶变换算法 （FFT）发表以前，BT法是最流行的谱估计方法，其性能与窗函数的选择密切相关，许多人曾花费很大精力研究较好的窗函数。(www.xing528.com)

1965年，库利（J.W.Cooley）和图基（J.W.Tukey）提出了快速傅里叶变换（FFT），使离散傅里叶变换（DFT）的运算量大大减少。快速傅里叶变换，是离散傅里叶变换的快速算法，它是根据离散傅里叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅里叶变换的算法进行改进获得的。它对傅里叶变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅里叶变换，可以说是进了一大步。快速傅里叶变换这一有效算法，使得人们对被搁置许久的周期图法又产生了新的兴趣。当前，周期图法是最流行的功率谱估计算法。

BT法和周期图法所得到的各种功率谱估计都是应用了经典的傅里叶分析方法，故称为经典谱估计法。这两种谱估计法亦称为线性谱估计法，这是因为它们对所得到的数据序列只进行线性运算。BT法与周期图法本质是一样的，它们都是将有限长的数据段看作为无限长的抽样序列给予开窗截断的结果。不论数据开窗还是自相关开窗，都导致在频域发生“泄漏”现象，即功率谱主瓣内的能量泄漏到旁瓣内。这样，弱信号的主瓣很容易被信号的旁瓣淹没或畸变，造成谱的模糊和失真。为了降低旁瓣，许多人在选择窗函数的形式和窗函数的处理方法上（如分段平均等）花费了很大工夫，但所有这种旁瓣抑制都是以损失谱分辨率为代价的。尤其在短数据序列情况，经典谱估计法的这种缺点变得格外突出。因为这时谱分辨率的极限只由抽样数据的长度决定，数据长度越短，谱分辨率就越低。实际上，短数据段是经常会遇到的。为了克服这些缺点，促使现代谱估计法的产生和发展。多年来，除了应用傅里叶简谐正弦模型外，在其他非工程领域也用过一些别的时间序列模型。早在1795年普罗尼（Prony）提出了对气体化学实验数据用指数模型拟合的方法；1927年尤利（Yule）发表了一篇带根本性的论文，专门研究了日斑太阳黑子数时间序列的周期性，文中就平稳随机序列，引入了有限参数模型的概念，他利用1794～1924年的黑子数，得到了下列自回归方程（去掉平均值后）

由此算得太阳黑子出现的周期为10.06年。尤利表明，他的自回归方法与舒斯特周期图法相对立，代表了谱估计的另一种方法。在统计学和数学分析领域，还提出一些其他模型，这些非工程领域中的时间序列分析，也存在着现代谱估计的源头。

现代谱估计技术是从1967开始的，1967年伯格 （Burg）受到他本人在地震应用研究中线性预测滤波方法的启发，首先把信息论中的 “熵”的概念引入到谱估计中，提出最大熵谱分析法。由于最大熵谱估计具有良好的高分辨性能，从而引起了人们对AR谱等高分辨谱估计方法的极大兴趣，将现代谱分析的研究推向了一个新的阶段。1968年帕曾 （Parzen）正式提出了自回归 （AR）谱估计法。1971年范登博斯 （Van Den Bos）证明了最大熵谱分析与AR谱估计等效。自此开展了对AR谱估计的深入研究及对其他模型法的研究，如滑动平均 （MA）模型、自回归滑动平均 （ARMA）模型及普罗尼复指数模型 （它与AR模型在数学上有某些相似之处）等，它们构成了现代谱估计的参量法。与此同时，还出现了现代谱估计的非参量法，1969年卡彭 （Capon）为分析阵列的频率—波数谱估计而提出了最大似然谱估计法，1971年洛卡斯 （Locass）将其推广到时间序列的功率谱估计中。现代谱估计的参量法和非参量法，都是基于非线性运算的，故亦称为非线性谱估计法。

上述非线性谱估计方法都具有分辨率高等优点，而且特别适用于短数据序列的谱估计。因此，它一出现就受到人们的高度重视，并很快应用于各领域。现代谱估计发展非常迅速，各种新理论与新方法不断出现，自20世纪80年代初以来又形成了一些新的分支，主要有应用信息论的熵谱估计法、奇异值/特征值分解处理法谱估计、多谱（高阶谱）估计及多维谱估计等。由于有越来越多的学者对现代谱估计的深入研究，将不断推动现代谱估计的理论方法的完善与提高。