灰色系统理论在信息密码解读中的应用

灰色系统理论自从邓聚龙于1982年提出并建立以来，经20多年的发展，已初步形成了以灰色关联空间（简称灰关联空间）为基础的分析体系，以灰色模型（简称灰模型）GM为主体的模型体系，以灰色过程（简称灰过程）及其生成空间为基础与内涵的方法体系，以系统分析、建模、预测、决策、控制、评估为纲的技术体系。

什么是灰色系统呢？控制论学者艾比用黑箱形容内部信息缺乏的对象和系统。用 “黑”表示信息缺乏，“白”表示信息完全。信息不充分、不完全称为“灰”。信息不完全的系统，称为灰色系统或简称灰系统（Grey System）。

“信息”不完全，一般指：

（1）系统因素不完全明确。

（2）因素关系不完全清楚。

（3）系统结构不完全知道。

（4）系统的作用原理不完全明了。

“信息不完全”是灰的基本含义。但在不同场合，可将 “灰”引申为别的含义，见表8-1。

表8-1　灰的引申含义

其中信息不完全性（部分性）与非唯一性是“灰”的主要含义，人们在认识世界与改造世界的过程中常常自觉或不自觉地通过已经掌握的部分信息对事物作整体剖析，通过对少量已知信息的加工并延伸，扩展到对系统进行处理。人们在开创新局面寻找优化对策时，往往有意无意地运用“非唯一性”来探讨各种有效途径，获取最佳效果。

“信息非完全”原理的运用，是 “少”与 “多”的辩证统一，是 “局部”与 “整体”的转化。

“非唯一性”原理，在决策上的体现是灰靶思想。灰靶是目标非唯一与目标可约束的统一，是目标可接近、信息可补充、方案可完善、关系可协调、思维可多向、认识可深化、途径可优化的表现。或者说，“非唯一性”在决策方面的体现是决策多目标，方法多途径，处理态度灵活机动；“非唯一性”在计划方面的体现是计划具有可调性，效果具有可塑性。

“非唯一性”的求解过程，也是定性与定量结合的求解过程。面对许多可能的解，需要通过信息补充、定性分析，以确定一个或几个满意解。定性与定量分析相结合的求解途径，是灰色系统的求解途径，然而也往往是数学科学中采用的方法。比如一个高阶代数方程的根是非唯一的，其根的性质是多种多样的，究竟哪种性质的根有意义（可采纳），就需要作定性分析。一个质量问题，只允许正实根；一个能量问题，正负实根均可以，但不允许有复根、虚根；一个交流电路问题，则任何性质的根均可以。

灰色系统理论不仅已成功地应用于工程控制，经济管理、未来学研究、社会系统、生态系统等领域，而且在复杂多变的农业系统，包括水利、气象、生物防治、农机决策、农业区划、农业经济等方面也取得了可喜的成就。

现有系统分析的量化方法，大都是数理统计法，如回归分析、方差分析、主成分分析等，其中回归分析用的最普遍，但回归分析有下述弱点：

（1）要求大量数据，数据量少难以找到统计规律。

（2）要求样本有较好的分布规律，如线性的、指数的、对数的。

（3）计算工作量大。单因素或两个因素的线性回归，计算工作量不大，两个以上因素的线性回归，计算工作量猛增。

（4）可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象。

灰色系统理论提出了一种新的分析方法，即关联度分析方法，此法弥补了数理统计方法所导致的缺憾，它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用，而且计算量小，十分方便，更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况，灰色关联度分析方法是根据因素之间发展态势的相似或相异程度，来衡量因素间关联程度的方法。由于关联度分析法是按发展趋势作分析，因此对样本量的多少没有过分要求，也不需要典型的分布规律，计算量小。灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。

灰色关联空间的描述如下。

令X为灰色关联因子集，x0∈X为参考序列，xi∈X 为比较序列，x0（k），xi（k）分别为x0与xi的第k点的数，若γ[x0（k），xi（k）]为实数，则

为γ[x0（k），xi（k）]的平均值。

当下述四点：

（1）规范性

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（2）偶对对称性

（3）整体性

（4）接近性

满足后，则称γ（x0，xi）为xi对x0于的灰关联度，称γ[x0（k），xi（k）]为xi对于x0的灰关联系数，或记为ξ0i（k）。

上述条件亦称灰关联四公理。

（1）γ（x0，xi）∈（0，1]表明，系统中任何因子都不可能是严格无关联的。

（2）偶对对称性表明，灰关联因子集中，只有两个因子时，γ（x0，xi）为两两比较。显然两两比较是对称的，这是距离量度的具体化。

（3）整体性表明，当关联比较在一定环境中进行时，不同参考序列的取舍，由于环境不同，比较结果也因此不一定符合对称原理。

（4）接近性是对灰关联度量化的约束。

当

式中：ζ为分辨系数，ζ是在（0，1）中取定的实数；{xi|i∈I}为灰关联因子集；x0为参考序列；xi为比较序列；x0（k）和xi（k）分别为x0与xi在第k点的值。则

满足灰关联四公理。

证明：（1）规范性

故规范性成立。

（2）偶对对称性

若X= {x，y}，则恒有

故偶对对称性成立。

（3）整体性