奇妙数学世界中的古代分牛问题，三个儿子如何分？

1.问题背景

分牛问题是一个古老的问题,经过历年翻新已有很多版本,但其原理基本相同,其大意是说:一位老人,弥留之际把他的三个儿子叫到床前,要把19头牛分给三个儿子,长子分得总数的1/2,次子分得总数的1/4,幼子分得总数的1/5.按古代的教规,牛被视为神灵,不能宰杀,不能卖掉,只能整头分.

19这个数,既不能被2整除,也不能被4整除,同样不能被5整除,三兄弟为此一筹莫展,当三个儿子回头去问老人“怎么分”时,老人已经一命呜呼了.

正当三个儿子面对分牛问题束手无策时,一位放牛的牧童路过,询问之下知事原委,牧童说此事好办:“把我的牛借一头给你们添进去参与分吧.”添上牧童这头牛,现共有20头牛,按去世老人的遗嘱要求:长子分总数20头的1/2得10头牛,次子分20头牛的1/4得5头牛,幼子分20头牛的1/5得4头牛.这样老人的19头牛就都分完了,还剩下牧童借给的一头牛,物归原主还给牧童牵回.

有的人感叹,这真是巧妙绝伦的分法,一个难题通过“借一还一”的方法轻松的解决了.可是有的人不这样认为,认为这种分法违背了去世老人的遗嘱.因为长子分得总数的＞,按遗嘱的要求分长子应得19头牛的1/2,应是9.5头牛,可是现在他却得了10头牛,造成了富人多分了穷人的财富,使富人更富,穷人更穷,贫富的差距越拉越大,不符合共同富裕的分配原则.

还有人认为遗嘱本身就是矛盾的,矛盾之一:一方面老人说把19头牛的1/2分给长子,19头牛的1/4分给次子,19头牛的1/5分给幼子,这样三个儿子分得的牛的头数都不是整数,另一方面老人又说:“牛必须要整头分.”矛盾之二:一方面,老人说:“要把19头牛全部分掉.”而++=＜1,故牛不可能被全部分掉,认为答案不符合老人遗嘱原意,还有人说:“老人快要死了,神智已经不清了,在说胡话,此题无解,其解法更是胡说八道.”

笔者认为正是这两个自相矛盾,才使得本来十分简单的求一个数几分之一的问题,变得扑朔迷离,妙趣横生,就其解法也是巧招、妙招、高招层出不穷.令人拍案叫绝.

有人不同意故事的结局,是由于对遗嘱的要求掌握得不够全面造成的,这里要说明的是:牧童的办法确实是个好办法,遗嘱也没有错,牧童的办法不但是一个智力游戏,在数学上也是完全合理的.首先指出一个事实,即:++=＜1,这就是说:假设不考虑不许杀牛的要求,硬把19头牛的1/2,1/4,1/5分给三兄弟,并没有把19头牛全部分完,还剩下19头牛的没有分.那么剩下的头牛怎么办呢? 按遗嘱中关于把19头牛全部分给三个儿子的要求,剩下的头牛还应继续分给三个儿子,而且还应该分给长子1/2、次子1/4、幼子1/5.而且任何有限次总也无法把19头牛全部分完.

仔细研究老人遗嘱,发现老人的遗嘱实际上包含三点要求:第一,把19头牛全部分给三个儿子.第二,每给长子分1/2,就得给次子1/4,给幼子1/5.所以实际上是按照这样的比例进行分配的,而不是把19

头牛的,分给三个儿子.第三,不许让牛流血,即不许杀牛分肉.

一个分配方案,只要满足上述三个条件,就是符合遗嘱要求的方案.

2.具体分法

(1)借牛法.

老人有19头牛,加上牧童借给的一头牛,一共20头牛,按20头牛的1/2,1/4,1/5分给三兄弟,长子分得20的1/2即10头牛,次子分得20的1/4即5头牛,幼子分得20的1/5即4头牛.三个兄弟所得的牛头数当然符合∶∶的比例(符合上述第二条要求),三兄弟分得的10头、5头、4头之和恰好是19头(符合上述第一条要求),没有杀牛(符合上述第三条要求),所以牧童的分法完全符合老人遗嘱要求的.

(2)比例法.

(3)极限分法.

长子分得的数目为:

取极限:

次子分得的数目为:

这种解法采用了极限这个数学工具,所以直视题目中的矛盾,第一次分后剩下的牛,再按遗嘱的要求来分,这样一次一次的无限分下去,每次分得的数目构成一个公比是的无穷递缩等比数列,求和取极限,如果极限是一个整数就可结束.如果极限值不是整数可以再用余数法来分.

(4)余数法.

19的是9.5,19的是4.75,19的是3.8.第一步先将牛按整数部分分,分给长子9头牛,次子4头牛,幼子3头牛.还剩下19-(9+4+3)=3头牛.三兄弟的小数部分别是0.5,0.75,0.8,现在剩下的牛是3头,按遗嘱要求牛不杀不剩,第二次三兄弟各分得一头牛.

长子共分得9+1=10头牛,

次子共分得4+1=5头牛,

幼子共分得3+1=4头牛.

此种分法符合老人遗嘱的三条分配原则,不杀不剩和分配比例.

有人认为此法是偶然的巧合,很牵强.其实不然,此法是纯存在性的推理方法,就是用数学推理的方法说明事物存在的.

此题在不考虑必须整头分牛的情况下,首先计算:

此时并没有分完,还剩:19-(9.5+4.75+3.8)=0.95头牛.

两次分完:

第一次:三兄弟分得的整数部分分别是:9头牛、4头牛、3头牛.

第二次:三兄弟分得的应是他们各自的小数部分与剩余的0.95头牛各自应得的和.

第二次长子分得x 头牛,0.5 ＜x＜2;

第二次次子分得y 头牛,0.75＜y＜2;

第二次幼子分得z 头牛,0.8＜z＜2.

因为x,y,z 均为正整数,所以x=1,y=1,z=1,即第二次三兄弟各得1头牛.

长子分得9+1=10头牛;

次子分得4+1=5头牛;

幼子分得3+1=4头牛.

(5)方程法.

(6)应用传统属性数学合必一,分必为零的属性的条件来解:

19-10-5-4=0,分配结果是:长子分得10头牛,次子分得5头牛,幼子分得4头牛.

3.从分牛问题引起的思考

就以上六种分法得到的结果相同,而方法则完全不同.有小学学到的比例、分数知识,有中学学到的一元一次方程、不等式知识,有古代属性数学知识,有现代大学的极限知识.这是一个一题多解的题,各种解法不但用的知识不同,而且方法、观察、思考的角度也不尽相同,充分体现了解题是一种创造性的学习,仅仅具有扎实的基础知识和基本技能是不够的,还要善于思考,摆脱习惯的解题模式.善于变换,灵活转化,从不同的角度,不同的方位思考问题,不同的方面探索解法,打破常规的解法,从新的角度、观点去思考问题.灵活运用知识的创造能力.六种解法,各有千秋,精妙绝伦,让人拍案叫绝.这些方法在我们今后的解题中都可应用.现把借牛法应用于解题与生活.

(1)借牛法应用于解题.

例1 不查表求值cos36°cos72°

解:先借来“一头牛”——4sin36°,(先借用完再还),这样.

4sin36°cos36°cos72°=2sin72°cos72°=sin144°=sin36°.

现在把这“一头牛”——4sin36°还回去.

在高等数学中有两个重要极限:(www.xing528.com)

我们可以通过借牛法和某些变量代换,把所给的不定式转化成上述公式(1.1)—(1.5)中的某一个,然后利用公式的结论计算出极限值.

例2 求函数的极限

解:(1)借“一头牛”——x2-1(随借随还).

(2)在指数的分母借“一头牛”——4(随借随还4).

(3)借来两头牛“一头牛”——xsinx,“另一头牛”——x2,同时还回两头牛.

练习

1.从前有个农民,他有17只羊.临终前,他要把羊分给三个儿子.他说:“长子分得一半,次子分得三分之一,幼子分得九分之一,但是不许把羊杀死,更不许把羊卖掉,必须整头分”.三个儿子各分得几只?

2.把1题中的数字改变一下,改为羊47只,长子分得1/3,次子分得1/4,幼子分得1/5,如何分配?

【阅读与欣赏】

世界现代数学的巨星

中国古代数学有着光辉的传统,取得了辉煌的成就,当时许多成果在世界上遥遥领先,但明代以后逐渐落后于西方.20世纪初,在科学民主的高涨声中,中国的数学家们踏上了学习并赶超西方先进数学光荣而艰辛的历程.一批批热血青年怀着科学救国、教育救国的思想走出国门到欧、美各国学习现代数学,把自己的青春和智慧献给祖国的数学事业.抗日战争期间,国内局势动荡,生活艰苦.他们在空袭炸弹的威胁下照常上课,并举行各种讨论班,同时进行深入的科学研究,在他们的不懈努力下,产生了一系列先进的数学成果,创造了世界现代数学发展史上的奇迹.下面,我们来介绍一下这一时期涌现出来的数学家中的最杰出的代表——华罗庚.

传奇数学家华罗庚

华罗庚

华罗庚(1910年11月12日—1985年6月12日),江苏省常州市金坛市人,世界著名数学家,中国科学院院士,美国国家科学院外籍院士.他是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论与多元复变函数论等多方面研究的创始人和开拓者,也是中国在世界上最有影响的数学家之一.被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一.1985年6月12日,因心脏病突然发作,在日本东京病逝.国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“怀依—华不等式”、“华氏不等式”、“普劳威尔—加当华定理”、“华氏算子”、“华—王方法”等.

他为中国数学的发展做出了无与伦比的贡献,被誉为“中国现代数学之父”.美国著名数学史家贝特曼称:“华罗庚是中国的爱因斯坦,足够成为全世界所有著名科学院的院士.”

华罗庚先生早年的研究领域是解析数论,他在解析数论方面的成就尤其广为人知,国际间颇具盛名的“中国解析数论学派”即是华罗庚开创的学派,该学派对于质数分布问题与哥德巴赫猜想做出了许多重大贡献.他在多复变函数论、矩阵几何学方面的卓越贡献,更是影响到了世界数学的发展.华罗庚先生在多复变函数论,典型群方面的研究领先西方数学界10多年,这些研究成果被著名的华裔数学家丘成桐高度称赞.华罗庚先生是难以比拟的天才.按丘成桐的看法,他是三个对当代世界数学潮流有影响的中国数学家之一.另两个人是陈省身和冯康.

人物生平

华罗庚1910年11月12日出生于江苏省常州市金坛市,父亲拥有一间小商店.他幼时爱动脑筋,因思考问题过于专心常被同伴们戏称为“罗呆子”.初中毕业后,华罗庚曾入上海中华职业学校就读,因家贫拿不出学费而中途退学.此后,他顽强自学,用5年时间学完了高中和大学低年级的全部数学课程.

1927年秋和吴筱元结婚.1928年,华罗庚受聘为金坛中学庶务员,并开始在上海《科学》等杂志上发表论文.

20岁时,华罗庚以一篇论文轰动数学界,被清华大学请去工作.1930年熊庆来在清华大学当数学系主任时,从学术杂志上发现了华罗庚的名字,了解到华罗庚的自学经历和数学方面的才华后,毅然打破常规,让只有初中文化程度的华罗庚进入清华大学.一开始在图书馆担任馆员,1931年开始在数学系担任助理.他自学了英、法、德文,在国外杂志上发表了3篇论文后,被破格任用为助教.1935年9月被提升为讲师.

出国

数学家诺伯特·维纳(NorbertWiener)在1935年访问中国,他注意到了华罗庚的潜质,向当时英国著名数学家哈代极力推荐.1936年华罗庚前往英国剑桥大学,度过了关键性的两年.这时他已经在华林问题(Waring'sproblem)上有了很多结果,而且在英国的哈代-李特伍德学派的影响下受益.他至少有15篇文章是在剑桥学习的时期发表的.其中一篇关于高斯的论文让他在世界上赢得了声誉.

1938年他回到清华大学担任正教授,后来迁至昆明的国立西南联合大学直至1945年.在昆明的一个吊脚楼上,他写出了《堆垒素数论》.

抗战胜利后他收到苏联的邀请,他的《堆垒素数论》也首先用俄语发表.1946年9月,华罗庚在普林斯顿高等研究院访问,并于1948年被美国伊利诺依大学聘为正教授至1950年.

回国

新中国成立后不久,华罗庚毅然决定放弃在美国的优厚待遇,奔向祖国的怀抱.归途中,他写了一封致留美学生的公开信,其中说:“为了抉择真理,我们应当回去;为了国家民族,我们应当回去;为了为人民服务,我们应当回去;就是为了个人出路,也应当早日回去,建立我们工作的基础,投身我国数学科学研究事业.为我们伟大祖国的建设和发展而奋斗.”回国后,华罗庚进行应用数学的研究,足迹遍布全国27个省、市、自治区,用数学解决了大量生产中的实际问题,被称为“人民的数学家”.1956年,他着手筹建中科院计算数学研究所.1958年,他担任中国科技大学副校长兼数学系主任.

回国后短短的几年中,他在数学领域里的研究硕果累累:他的论文《典型域上的多元复变函数论》于1956年获国家自然科学一等奖,并先后出版了中、俄、英文版专著;1957年出版《数论导引》.1963年他和学生万哲先合写的《典型群》一书出版.在逆境中,他顽强地与命运抗争,他说“我要用健全的头脑,代替不健全的双腿.”凭着这种精神,他终于从一个只有初中毕业文凭的青年成长为一代数学大师.他一生硕果累累,是中国解析数论、典型群、矩阵几何学、自守函数论等方面的研究者和创始人,其著作《堆垒素数论》更成为20世纪数学论著的经典.由于青年时代受到过“伯乐”的知遇之恩,华罗庚对于人才的培养格外重视,他发现和培养陈景润的故事更是数学界的一段佳话.在他亲自关心和过问下,陈景润从厦门大学被调到中科院数学研究所,最终在攻克哥德巴赫猜想方面取得了世界领先的成绩.此外,万哲先、陆启铿、龚升、许以超、王元、潘承洞、段学复等人也是在华罗庚的悉心培育下成长起来的.

因为有了华罗庚,我们的国家才没有在国际理论科学界中被人遗忘;因为有这个名字,在一片荒芜的中国理论科学界中,才存在着一些足可欣慰的希望.

华罗庚轶事

华罗庚出生时,他的父母亲为了给儿子祝福,一生下来就用两个箩筐扣住了他,华罗庚因此得名.

他12岁进入金坛市立初级中学学习,初一之后,便深深爱上了数学.一天,老师出了道“物不知其数”的算题.老师说,这是《孙子算经》中一道有名的算题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”“23!”老师的话音刚落,华罗庚的答案就脱口而出.当时的华罗庚并未学过《孙子算经》,他是用如下妙法思考的:“三三数之剩二,七七数之剩二,余数都是二,此数可能是3×7+2=23,用5除之恰余3,所以23就是所求之数.”

1925年初中毕业后被迫辍学,回到金坛帮助父亲料理杂货铺.在单调的站柜台生活中,他开始自学数学.他回家乡一面帮助父亲在“乾生泰”这个只有一间小门面的杂货店里干活、记账,一面继续钻研数学.回忆当时他刻苦自学的情景,他的姐姐华莲青说:“尽管是冬天,罗庚依然在账台上看他的数学书.鼻涕流下时,他用左手在鼻子上一抹,往旁边一甩,没有甩掉,就这样伸着,右手还在不停地写……”

那时罗庚站在柜台前,顾客来了就帮助父亲做生意,打算盘、记账,顾客一走就又埋头看书演算起数学题来.有时入了迷,竟忘了接待顾客,甚至把算题结果当做顾客应付的货款,使顾客吓一跳.因为经常发生类似的莫名其妙的事情,时间久了,街坊邻居都传为笑谈,大家给他起了个绰号,叫“罗呆子”.每逢遇到怠慢顾客的事情发生,父亲又气又急,说他念“天书”念呆了,要强行把书烧掉.争执发生时,华罗庚总是死死得抱着书不放.

后来,回忆起这段生活,他说:“那正是我应当接受教育的年月,但一个‘穷’字剥夺掉我的梦想.在西北风口上,擦着鼻涕,一双草鞋一支烟,一卷灯草一根针地为了活命而挣扎.”

其实华罗庚读初中时,一度功课并不好有时数学还考不及格.时在金坛中学任教的华罗庚的数学老师,我国著名教育家、翻译家王维克(1900—1952年,江苏省常州市金坛市人)发现华罗庚虽贪玩,但思维敏捷,数学习题往往改了又改,解题方法十分独特别致.一次,金坛中学的老师感叹学校“差生”多,没有“人才”时,王维克道:“不见得吧,依我看,华罗庚同学就是一个!”“华罗庚?”一位老师笑道:“你看看他那两个像蟹爬的字吧,他能算个‘人才’吗?”王维克有些激动地说:“当然,他成为大书法家的希望很小,可他在数学上的才能你怎么能从他的字上看出来呢? 要知道金子被埋在沙里的时候,粗看起来和沙子并没有什么两样,我们当教书匠的一双眼睛,最需要有沙里淘金的本领,否则就会埋没人才啊!”

华罗庚开始他的数学家生涯时,仅有一本《代数》、一本《几何》和一本缺页的《微积分》.有志者事竟成,他终于在19岁那年写出了那篇著名的论文.

1930年春,他的论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立的理由》在上海《科学》杂志上发表.当时在清华大学数学系任主任的熊庆来教授看到后对这篇文章很受感动,他问周围的人说:“这个华罗庚是谁?”,但是谁也没有听说过华罗庚这个人.后来,一位名叫唐培经的清华教员向熊庆来介绍了他的同乡华罗庚的身世.“这个年轻人真不简单啊! 应该请他到清华来.”熊庆来听后非常赞赏.这年,华罗庚只有19岁,却已经走过了一段相当坎坷的生活道路.

无学位大师

他用了两年的时间走完了一般人需要八年才能走完的道路,1933年被破格提升为助教,1935 年成为讲师.

1936年,他经清华大学推荐,派往英国剑桥大学留学.他在剑桥的两年中,把全部精力用于研究数学理论中的难题,不愿为申请学位浪费时间,他的研究成果引起了国际数学界的注意.

1938年回国,受聘为西南联合大学教授.从1939年到1941年,他在极端困难的条件下,写了20多篇论文,完成了他的第一部数学专著《堆垒素数论》.《堆垒素数论》后来成为数学经典名著,1947年在苏联出版俄文版,又先后在各国被翻译出版了德文、英文、日文、匈牙利和中文版.

在闻一多先生的影响下,他还积极参加到当时如火如荼的抗日民主爱国运动之中.

1946年2月至5月,他应邀赴苏联访问.

1946年,当时的国民政府也想搞原子弹,于是选派华罗庚、吴大猷、曾昭抡三位大名鼎鼎的科学家赴美考察.同年9月,华罗庚和李政道、朱光亚、唐敖庆等离开上海前往美国,先在普林斯顿高等研究所担任访问教授,后又被伊利诺大学聘为终身教授,并在那里治好了腿.

报效祖国

1949年新中国成立,华罗庚感到无比兴奋,克服了来自美国政府所带来的种种困难,决心偕家人回国.他们一家五人乘船离开美国,1950年2月到达香港.他在香港发表了一封致留美学生的公开信,信中充满了爱国激情,鼓励海外学子回来为新中国服务.3月11日新华社播发了这封信.1950年3月16日,华罗庚和夫人、孩子乘火车抵达北京.

华罗庚回到了清华园,担任清华大学数学系主任.接着,他受中国科学院院长郭沫若的邀请开始筹建数学研究所.1952年7月,数学所成立,他担任所长.他潜心为新中国培养数学人才,王元、陆启铿、龚升、陈景润、万哲先等在他的培养下成为世界知名的数学家.

回国后短短的几年中,他在数学领域里的研究硕果累累.他写成的论文《典型域上的多元复变函数论》于1957年1月获国家发明一等奖,并先后出版了中、俄、英文版专著;1957年出版《数论导引》;1959年莱比锡首先用德文出版了《指数和的估计及其在数论中的应用》,又先后出版了俄文版和中文版;1963年他和他的学生万哲先合写的《典型群》一书出版.

他为培养青少年学习数学的热情,在北京发起组织了中学生数学竞赛活动,从出题、监考、阅卷,都亲自参加,并多次到外地去推广这一活动.他还写了一系列数学通俗读物,在青少年中影响极大.他主张在科学研究中要培养学术气氛,开展学术讨论.他发起创建了我国计算机技术研究所,也是我国最早主张研制电子计算机的科学家之一.