奇妙的数学世界:立方数的计算和巧判立方根

1.简单的两位数的立方

设一个两位数为:10a+b.则有:

(10a+b)3=1000a3+3×102×a2b+3×10×ab2+b3.

法则:一个两位数的立方,十位数的立方的适当数位上依次加上十位数的平方与个位数的积的3倍、十位数与个位数平方的积的3倍,再加上个位数的立方得结果.

例1 计算123

例2 计算233

2.巧判立方根

巧判立方根,就是知道一个数的立方,求这个数.

引例1 一次,华罗庚教授乘飞机出国访问,他的助手借了邻座一位朋友的杂志,上面有一题目,哪一个数的立方是59319? 当时华教授一看,马上说出答案,在场人都大吃一惊,感到不可思议.那么速算的技巧在哪里呢? 请同学们口算.

引例2 诺伯特·维纳是20世纪最伟大的数学家之一,他在青年时代便获得了美国哈佛大学的数学博士学位.在学位授予仪式上,有人见维纳一脸稚气,不禁好奇地问:“请问阁下贵庚几何?”

维纳十分风趣地回答:“鄙人今年岁数的立方是个四位数,岁数的四次方是个六位数,如果把这两个数合起来,他们正好是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10个数字都用上了.请你算一算我几岁?

这两个问题很有趣,解答起来也不困难,不过解答它需要有一些数学灵感.这两个问题都与两位数的立方有关,都是求一个数的立方根的问题.如何判断一个数的立方根(立方根是一位数或两位数)?

(1)确定立方根的个位数.

观察一个一位数的立方数的个位数与这个数的关系:

03=0 13=1 23=8 33=27 43=64

53=125 63=216 73=343 83=512 93=729

如果一个数的立方数的个位数是0,1,4,5,6,9时,那么这个数的个位数就是它本身0,1,4,5,6,9.

例如59319的个位数是9,那么它的立方根的个位数是9,再如13824的个位数是4,那么它的立方根的个位数是4.

如果一个数的立方数的个位数是2,3,7,8时,这个数的个位数是它们的补数8,7,3,2.

例如32768的个位数是8,那么它的立方根的个位数是8的补数2,再如19683的个位数是3,那么它的立方根的个位数是3的补数7.

(2)确定立方根的位数.

∵13=1,93=729,103=1000.

∴立方数是1～3位数时,立方根是1位数.

又∵103=1000,993=970299.

∴立方数是4～6位数时,立方根是2位数.

由103=1000,193=6859,203=8000,213=9261,223=10648,(www.xing528.com)

303=27000,403=64000,463=97336,473=103823,503=125000,

603=216000,703=343000,803=512000,903=729000,993=970299.

通过以上观察:

一位数的立方应记住,且背熟.

立方数是四位数,如果首数是1～6时,立方根的十位数是1,如果首数是8或9时,十位数是2.

立方数是5位数,前两位数小于27,则十位数是2,前两位数大于27且小于64,则十位数是3,前两位数大于等于64时,十位数是4.

立方数是6位数时,前三位数小于125时,十位数是4,前三位数大于等于125且小于216时,十位数是5.前三位数大于等于216且小于343时,十位数是6.前三位数大于等于343且小于512时,十位数是7.前三位数大于等于512且小于729时,十位数是8.前三位数大于等于729时,十位数是9.

例1 判定4913的立方根

解:4913是四位数,其立方根是两位数,4913的个位数是3,立方根的个位数是它的补数7,4913的首数4小于8,立方根的十位数是1,所以4913的立方根是17.

例2 判定12167的立方根

解:12167是五位数,其立方根是两位数,12167的个位数是7,则它的立方根的个位数是它的补数3,12167的前两位数12小于27,它的十位数是2,即12167的立方根是23.

例3 判定59319的立方根

解:59319的个位数是9,其立方根的个位数是它本身9,59319是五位数,前两位数59大于27且小于64,确定立方根的十位数是3,即59319的立方根是39.

例4 判定97336的立方根

解:97336的个位数是6,它的立方根的个位数是它本身6,97336是五位数,前两位数97＞64,所以97336的十位数是4.

即97336的立方根是46.

例5 判定474552的立方根

解:474552的个位数是2,它的立方根的个位数是8,474552是六位数,它的前三位数是474,且343＜474＜512,所以474552的十位数是7,所以474552的立方根是78.

练习

判定下列各数的立方根

1.(1)729; (2)512; (3)343.

2.(1)5832; (2)19683; (3)46656; (4)110592.

3.(1)185193; (2)328509; (3)389017; (4)431441;

(5)778688.