前面几章中,我们学习了两位数的平方、特殊情况的两位数乘法、简单的三位数乘法及一位数乘以多位数乘法.下面我们研究任意两个两位数相乘.
设任意两个两位数分别为10a+m,10b+n
(10a+m)(10b+n)=100ab+mn+10an+10bm=100ab+mn+10(an+bm).
法则1:任意两个两位数相乘,两首数之积后面接写两尾数之积为初积,两内项之积与两外项之积的和乘以10为补积.初积加补积得结果.
注:(1)两个尾数之积如果不满10,要在此积前面添个0顶位.
(2)如在34×68中,3与8为两外项,4与6为两内项.
(3)两外项之积与两内项之积的和:
如果和＜10,则加在十位上;
如果10＜和＜100,则加在百位上;
如果100＜和＜1000,则加在千位上.
例1 计算12×24
解:两首数1与2之积是2,2后面接写两尾数2与4之积08得初积208.两外项1与4之积4与两内项2与2之积4的和为8(＜10),得补积80,初积208加补积80得结果288.
即12×24=208+80=288.
法则2:任意两个两位数相乘:如果两外项之积与两内项之积的和、两尾数之积均是一位数时,两首数之积后面接写两外项之积与两内项之积的和,再接写两尾数之积,得结果.
如12×24,两首数1与2的积2后面接写两外项之积4与两内项之积4的和8,得28,再在28后面接写两尾数2与4的积8,得结果288.
例2 计算43×85
解:4×8=32,3×5=15→3215,
4×5+3×8=44→变成440,
3215+440=3655.(www.xing528.com)
计算时也可以先加补积,即两首数之积,加两外项之积与两内项之积的和(和＜10接写,10＜和＜100加在两首数之积的末位上,100＜和＜1000加在两首数之积的十位上)再加两尾数之积(积是一位数时接写,积是两位数时加在末位上)得结果.
例3 计算97×89
解法1:9×8=72,7×9=63→7263,
9×9+7×8=137→变成1370,
7263+1370=8633.
解法2:
练习
(1)28×47; (2)35×62; (3)83×54; (4)39×87;
(5)76×27;(6)17×48;(7)23×79;(8)49×57.
【阅读与欣赏】
数学离不开猜想
在数学知识的发展过程中,数学家们常常先猜测问题的结论,在做出详细的证明之前,先得猜测证明的思路.因而,猜想在数学的发展过程中有着重要的地位.如果没有猜想,数学将寸步难行;如果没有猜想,如今这座雄伟瑰丽的数学宫殿就不会存在.
数学猜想对数学发展有着巨大的推动作用,不仅是由猜想得到结论,可以作为进一步研究的基础和出发点.而且还在于一个好的深刻的猜想往往会成为数学家们长期研究的课题,成为推动数学不断向前发展的源泉和动力.数学史上曾经出现过许许多多的著名猜想.这些猜想,有的已被证实,直接化成了数学理论;有的已被推翻或部分地被推翻,但也在研究过程中产生出来许多富有成效的新成果和新方法;有的尚未被证实也未被推翻,激励着人们为之奋斗.
例如,一个印度数学家100多年前就写出很多公式,但不能阐述原理,而这些公式有很多被证明是正确的.
再如,18世纪40年代,德国数学家哥德巴赫,在对一些偶数8=5+3,10=7+3,12=7+5,14=11+3……进行观察后,总结出一个带有共性的现象:“这些偶数都可以表示成两个奇质数的和”.在此基础上,他大胆地提出了如下猜想:“任何不小于6的偶数都能表示成两个素数的和”.可以用简化的形式表示成“1+1”.这就是著名的“哥德巴赫猜想”.这个猜想,吸引了许多数学家为能证明它苦苦求索.然而数学家们经过260多年的努力,这个问题至今仍然未解决.中国数学家陈景润于1966年证明了“1+2”,即“任何充分大的偶数都是一个质数+两个质数之积”.通常这个结果表示为“1+2”.这就把哥德巴赫猜想的证明又向前推进了一步(原来已经证明“1+3”).这是迄今哥德巴赫猜想最接近的证明了.这是目前这个问题的最佳结果.距最终证明只剩最后一步.但这最后一步或许是最难的.至今半个多世纪过去了.此事毫无进展.
陈景润的“1+2”尽管离哥德巴赫猜想“1+1”还差一步,仍然被国外数论专家们称之为“光辉的顶点”,被誉为“陈氏定理”.
伟大的科学家,微积分的创始人之一牛顿曾说:“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现”.诺贝尔物理奖获得者杨振宁说:“科学是猜想,很多科学的发现都是由猜想引起的.数学家们正在不断地猜想、研究猜想、在解决猜想的过程中,推动着数学向前发展.
在学习数学时,我们每个同学都应有一点猜想的意识,多进行“猜一猜”活动.此活动大、中、小学生均能从中受益.
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