奇妙的数学世界：两位数相乘的互补效应

设两个数分别为a,b,且a+b=100则有:

法则1:互补的两个两位数相乘,将其中较小的数后面添两个0,再减去这个数的平方,得结果.

例1 计算23×77

解:23×77=2300-232=2300-529=1771.

例2 计算31×69

解:31×69=3100-312=2139.

因为互补的两个两位数必然一个比50大,另一个比50小,且它们到50的距离相等.设这两个数分别为50+m,50-m.

法则2:互补的两个两位数相乘,将2500减去较大乘数与50差的平方,得结果.

例3 计算42×58

解:42×58=2500-82=2500-64=2436.

注意:当互补的两个数距离比较大时,用法则1较简便,当互补的两个数距离比较近时用法则2较简便.

下面介绍两个三位数,百位数相同,后两位数互补的两个三位数的乘法.

法则:首数(百位数)与首数加1之积为积首,两尾数(后两位数)之积为积尾,积首后面接写积尾得结果.

例4 计算225×275

解:∵(2+1)×2=6,

又∵25×75=1875,

∴225×275=61875.

例5 计算653×647

解:∵6×(6+1)=42,

又∵53×47=2491,(www.xing528.com)

∴653×647=422491.

练习(直接写得数)

1.计算

(1)48×52; (2)61×39; (3)53×47; (4)51×49;

(5)63×37;(6)59×41;(7)58×42;(8)65×35;

(9)85×15;(10)45×55; (11)56×44; (12)76×24;

(13)71×29; (14)28×72; (15)84×16; (16)89×11.

2.计算

(1)335×365; (2)449×451; (3)862×838; (4)154×146;

(5)259×241; (6)764×736; (7)958×942; (8)561×539;

(9)643×657; (10)344×356;(11)845×855;(12)285×215.【阅读与欣赏】

灵魂的倩影

大约2500年前,有一位很有名的古希腊科学家叫毕达哥拉斯,他是世界古代十大名人之一.在一些历史传说里,甚至把他描绘得像一尊神,说河水遇见了他,也会卷起浪花来欢迎他、问候他:“你好哇,毕达哥拉斯!”一次,古希腊学者聚集在克罗托那城,讨论“数字对万物的作用”.一位学者问:“我结交的朋友,存在着数的作用吗?”毕达哥拉斯回答:“朋友是你灵魂的倩影,要像220和284一样亲密”.这句话什么意思呢?

原来,毕达哥拉斯发现,在自然数220与284之间,有一种非常奇妙的关系,能整除220=22×5×11的全部自然数(不包括220)之和:1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110恰好等于284;而能够整除284=22×71的全部自然数(不包括284)之和1+2+4+71+142又恰好等于220.这是绝妙的吻合！数学上,具有这样特征的数叫“亲合数”.毕达哥拉斯发现的220与284,是人类认识的第一对“亲合数”,也是最小的一对“亲合数”.

也许有人认为,这种吻合极其偶然,很难有什么规律蕴含于其中.然而,这偶然的亲合却引起了数学家们的极大关注,他们花费了大量的精力进行研究、探索.可是,在很长一段时间里,人们都没有发现新的“亲合数”.一些著名的数学家,甚至认为亲合数只有一对.还有一些无聊的世人,把这对“亲合数”视为珍宝,妄谈其魅力之深,作用之大.例如11世纪的阿拉伯人麦兹克伊特在其著作中详述了用“亲合数”预测婚姻的方式.大意是:在择婚之际,分别拿出220和284块糖果,让男方和女方吃,以吃尽或吃得多少来确定婚姻的恩爱程度.这种把戏流传极广,甚至在今天的世界上仍有人效仿.因此,“亲合数”又有“相亲数”之称.直到1636年,“业余数学家之王”费尔马才给出另一对“亲合数”——17296和18416.两年之后,法国数学家笛卡尔也发现了一对“亲合数”——9363584和9437056.

18世纪中叶,著名的数学家欧拉系统地研究了“亲合数”.1747年,欧拉列出了一个有30对“亲合数”的表,不久又将表中的亲合数扩大到超过60对,其中包括2626和2924,5020和5564等.

欧拉的工作充分地显示出了他超人的数学天才,使当时的数学家惊喜叫绝.无人与他争.可是过了100年,奇迹出现了.1866年,一位年仅16岁的孩子帕干尼尼竟正确地指出:欧拉丢掉了第二对较小的“亲合数”1184和1210.这戏剧性的发现使当时的数学家们如醉如痴,“亲合数啊,你是精灵！你怎么和数学大师们开了个这样的玩笑?”不,中国有句古语:“智者千虑,必有一失.”况且科海茫茫,学无止境啊！这妙趣横生的事实给人以何等深刻的启示！

1946年,电子计算机的产生,给“亲合数”的研究带来了新的突破.直到20世纪70年代,人们已经找到了1200多对“亲合数”,一些运算程序甚至产生于中学生之手.面对此情此景,恐怕大数学家欧拉在九泉之下也会自愧不如了.