超炫漫话：计算弦面积的方法详解！

弦的形状像一根线，这根线在空-时中的传播，扫出一个称为世界片的薄膜。该薄膜的面积怎样计算呢？下面的计算，你可能看不懂。不过没关系，你可以跳过去！不妨碍你对下文的理解。但是，为什么还要书写这一节呢？窃以为，第一，科学研究必须定量，没有定量分析就没有科学；没有定量分析就谈不上科研，焉有科学理论？唯物辩证法的三大规律中有个量变质变规律，是说事物的发展变化总是先从量变开始的，一旦量变达到临界点，事物的性质就会发生根本变化，从一种事物变为另一种事物或者产生新事物。第二，进行定量分析，就必须对弦理论进行数学化。

研究弦，首先要给出弦的作用量。在点粒子物理中，作用量正比于世界线的长度，即

式中的ds 称为线元。线元的平方，一般写作

设τ 为沿着世界线运动的点的位置参数，则点的轨迹为）xμ（τ）。这时（1）式可以写作

其中的

弦的作用量正比于世界片的面积。设σ为闵氏空间的空间坐标，τ为时间坐标，它们的取值都是从0到π。弦的位置X是σ和τ的函数，X=X（σ，τ）。一旦σ、τ给定，弦的位置就确定了。这时，作为点粒子世界线的推广，弦的世界片在三维闵可夫斯基空间中的面积公式是

这儿，表示X对时间坐标τ的偏导数； 表示X 对空间坐标σ的偏导数。

下面我举例解释一下该公式。(www.xing528.com)

求螺旋面的侧面积，螺旋面的参数方程为显然，r是螺旋面的半径，其最大值为a，h 为螺距。

高等数学中，“曲面面积”一章按照不同条件给出了关于曲面面积的若干个公式，其中一个是

该式告诉我们，如果曲面由参数方程x=x（u，v），y=（u，v），z=z（u，v）给出，u和v是参数，那么曲面面积可由上式计算，式中E=（xuu）2+（yuu）2+（zuu）2，G=（xvv）2+（yvv）2+（zvv）2，F=（xuv）2+（yuv）2+（zuv）2现在进行计算。由参数方程可得

将上述三个式子代入曲面公式，得

我们已经知道弦世界片在三维闵氏空间中的面积公式。但是，闵氏空间可以是三维的，也可大于三维。实际上，自由弦的运动空间是26维。当务之急是要给出26维中弦的世界片面积计算公式，这个公式是

式中，hαβ是弦的世界片的度规张量，而hαβ是hαβ的逆张量，是hαβ的行列式绝对值的平方根；ημν是闵可夫斯基度规，也是平直世界片度规。在26维闵氏空时中，ημν可写作一个26 行、26 列矩阵，其主对角线元素为-1，1，1，…，1，其余都是0。而∂αXμ和∂βXν表示对变量α\β的偏导数。用这个公式计算世界片面积非常麻烦。不过，如果需要的话，也只好如此了。