对称，是自然界普遍存在而又奇妙有趣的现象。20世纪初期，德国科学家艾米·诺特女士早就详细研究过物理对称与守恒物理量之间的关系，发现了对称性和守恒定律之间的深刻内在联系，指出对给定的力学系统，N 个连续对称变量的变换一定对应着N 个守恒量。后人称之为诺特定理。这一定理成为探索自然奥秘的强大武器。例如，物理定律不随时间t 而改变，表明物理定律所描述的物理量具有关于时 间t的对称性。根据牛顿定律，物体不受外力作用时，
必有
=恒量，表示动量守恒。
数学上的u（1）群表示二维旋转，所以又称u（1）群为二维旋转群。二维旋转就是绕Z 轴转动XOY 平面。先转动80°再旋转20°，等于一次性绕Z 轴转动100°；先转动20°再旋转80°，也等于一次性绕Z轴转动100°，结果是相等的。三维旋转就不同了，因为三维旋转不遵守加法交换律。如图1.8所示，先绕X 轴转90°，再绕Z 轴转90°，与先绕Z 轴转90°，再绕X 轴转90°，所得结果不同。再如，一只带有手柄的茶杯也是如此，读者可以亲自动手演示一下。数学上用SO（3）群表示三维旋转。旋转表示一种变换，旋转对称性，表示旋转后的结果与旋转前相同，对应于角动量守恒，表明空间的各向同性。而空间平移对称性，对应动量守恒；时间平移对称性，对应能量守恒，表明空间的均匀性。量子力学中，费米子的自旋为1/2，表明自旋乃微观粒子所在空间的内禀特性，指粒子在自旋空间旋转一周相当于在经典空间旋转180°。
图1.8 三维旋转不遵守加法交换律
假如你了解理论力学，我们不妨给出一个简易证明。设一个力学系统对参数ρ 具有对称性，则系统的拉格朗日函数L 为广义速度
和广义坐标X的函数。设坐标X 可以表示为时间t 以及参数ρ的函数，L 可表示为L=L
）。设参数ρ 变化时L 不变，那么(www.xing528.com)
将拉格朗日方程
代入上式，可以得到
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