超炫漫话：对称概念解析

什么是对称呢？对称就是某种变换下的不变性，意味着“有序”和“重复”。对称有多种情况，可以分为许多种类。对称现象在我们身边大量存在，在自然界大量存在，在科学研究中大量存在。

就说人体自身，眼睛、耳朵各自左右对称，两只手、两只脚、两条腿、两个臂膀皆左右对称；内脏中的两页肺、肝、肾等也大体对称。只有心脏长在左胸。再说你在地球上的所见所闻，槐树叶、柳树叶等，都具有轮换对称性。树干的生长具有空间对称性，若一棵树的主干上发出三条支干，则两两之间互成大约180°的二面角；若有五条支干，则两两之间互成72°的二面角，以保持平衡。你去过天安门吗？天安门，想象成一个中轴面，中轴面两侧的建筑是完全对称的。农村、城市的大多数建筑物，包括民宅、办公楼、学校、超市、医院，都遵循对称原理。人们的生活用品、生产工具，例如电脑、电扇、电视、推土机、潜水艇、动车等，也都具有对称性。因为自然界本身就是对称的。

按照空间维数划分，对称可分为平面对称和空间对称两大类。平面对称又分为中心对称和轴对称。把一个图形绕某点旋转180°，若旋转后的图形与原来的图形重合，则称该图形为中心对称图形。你家有台扇吗？观察一下，扇头上连接着三个扇叶，它们均匀分布，每一扇叶每旋转120°都会与原位置重合。所以扇头、扇叶是一个中心对称图形。平行四边形、四叶玫瑰线等都是中心对称图形。绕着旋转的“某点”叫作对称中心。如果一个图形沿某条直线或平面对折，两边的部分完全重合，则称这类图形为轴对称图形。人体、天安门等都是轴对称的，图1.5 中的银河系全景图是一个中心对称图形。

图1.6　银河系全景图，WWW.nipic.com

将平面对称推广到三维，就得到空间对称。空间对称又分为空间反演对称、空间平移对称、空间旋转对称、标度变换对称、自相似对称等。空间反演对称又叫作镜面对称。例如，你晨起照镜子，以检查你的光辉形象是否存在什么瑕疵，你本人与镜中的“你”构成镜面对称。镜中的“你”左手变成了右手，左、右互换。位置矢量满足变换的对称叫作空间平移对称。例如，公路边的电线杆每50米一颗，每颗电线杆都由水泥制成，高度、形状相同，间距相同，是空间平移对称。涡轮发动机的涡轮转动就是空间旋转变换。整体事物中的一部分的形状、性质、行为与其自身相同或相似，只是线度、范围、比例不同，称为自相似对称。图1.7 是两个自相似对称图形。(www.xing528.com)

图1.7　两个自相似对称图形

如何用数学描述空间对称呢？在三维空间中，如果A物体的空间坐标（x，y，z）和B物体的空间坐标（x'，y'，z'）满足数学等式x'=-x，y'=-y，z'=-z，则称A和B关于空间对称。若x'=-x，y'=-y，z'=-z=0，则两物体是关于平面坐标原点对称的中心对称图形。若x'=-x，y'=-y=5，z'=-z=0，则两物体是关于Y 轴对称的直线。

什么叫物理规律的对称性呢？经过一定的操作或者变换，物理规律的数学表达形式保持不变，叫作物理规律的对称性。万有引力定律在地面上适用，在火星上也适用。这种对称性又称为不变性，每种不变性都对应一种守恒，表示某种守恒的物理量。空间平移对称性对应于动量守恒，空间旋转对称性对应于角动量守恒，时间平移对称性对应于能量守恒，等等。