各向异性随机场的局部不确定性

本节将考虑（7.1.1）式所定义随机场X的局部不确定性。为了简单起见，本章剩余部分恒假定I=[∈，1]N，其中∈是一个任意小于1的正数。下面的定理是本章的主要结论之一。

定理7.3.1　设α∈（0，2），H∈（0，1），φ是一个E-齐次函数，则可调和算子尺度stable随机场在I上是局部不确定性的。此外，对任意整数n≥2，存在一个仅依赖于α，H，N，n，φ和I正的常数c7，3，1，使得对所有充分接近且满足（7.2.5）式的s1，…，sn∈I，下面的不等式对所有的成立：

为了证明定理7.3.1，需要下面两个引理。

引理7.3.2　设是一个如（7.1.1）式所定义的可调和算子尺度stable随机场，则存在两个正的常数c7，3，2，c7，3，3使得

证明　由（7.1.1）和（1.2.5）式可得

利用引理1.2.9，并令t-s=τE（s-t）Eθ，再做变量替换x=τE（s-t）E′ξ（这里E′表示矩阵E的转置），可得

其中在最后一个不等式中利用到函数ψ的齐次性。由于函数θ↦在紧集S0：={x：τE（x）=1}上是连续的，且该紧集不包含0点，所以存在正的常数c7，3，2，c7，3，3使得

从而结论由（7.3.4）和（7.3.5）式可得。

下面的引理是Ayache和Xiao（2016）中引理3.3的一个直接结论，因为引理中的q0是一个固定的常数，而且可替换为任意大于等于1的常数。

引理7.3.3　设这里a1是矩阵E所有特征值实部的最小值，δ是一个充分小的任意常数，而符表示向下取整。设G是定义在上具有紧支撑的连续实值函数，其具体形式由如下的张量积给出：

其中函数上具有紧支撑为[-2q0，2q0]的函数，其Fourier变换是且满足则下面的论述成立。

（i）G的支撑包含在矩形内，且G（0）＞0。

（ii）G的Fourier变换取值于[0，1]。此外，存在一个仅依赖于q，H和α的正常数c7，3，4使得

下面开始定理7.3.1的证明。

证明　证明方法是基于Ayache和Xiao（2016）命题3.1的证明思想。如果能够证明对任意给定的n≥2和任意有

其中s0=0，c7，3，5是一个仅依赖于α，H，N，n，ψ和I的常数，则由（7.2.2）和（7.2.3）式可得

由引理7.3.2知，定义7.2.2中的条件（i）和（ii）显然得到满足。由此及（7.3.8）式可得对任意满足（7.2.5）式和的序列定义7.2.2的条件（iii）也得到满足。因此X在I上，在范数下是局部不确定性的。由本定理的第一个结论和Nolan（1989）中定理3.2可得本定理的第二个结论。

下面分两种情形证明（7.3.8）式成立。

情形一：当

时。对于这种情形，可通过与Ayache和Xiao（2016）相同的讨论得到，这里略去。

情形二：当

时。首先由（7.1.1）和（7.2.3）可得

为了简便起见，令对任意的

定义

其中b1，…，bn是点的坐标分量。利用（7.3.11）和（7.3.12）式可得

显然有

为了证明（7.3.8）式，不妨假设否则结论显然成立。设γ由下面式子定义：(www.xing528.com)

其是一满足的任意常数。注意γ-1是所确定的。利用变量替换可得

其中最后一个等式由ψ的齐次性可得。因此为了证明（7.3.8）式，只需证明存在仅依赖于α，H，N，n，ψ和∈的常数c*＞0使得

对所有的成立。由引理7.3.3有

由（7.3.14）式可得

因为是关于η的连续函数，所以其在闭区域

上有界。因此只需考虑

在0附近和

在接近于∞两种情形。由ψ的齐次性和（7.3.18）式知

由于ψ是一个齐次的连续函数，且所以存在正的常数m，M使得由此可得，

由引理7.3.3和引理7.2.8有

以及

在（7.3.22）式中约定

由上面的讨论知，（7.3.20）式的右边是从上有界的，即对任意的

为了记号的简洁，令

则由（7.3.24）式，显然有0＜c7，3，6＜∞。因此对任意的

由此可得

利用Cauchy-Schwarz不等式有

下面证明

事实上，首先将上面积分的积分区域划分成两部分：并将在它们上面的定积分分别记为J1和J2。由的连续性，显然有J2＜∞。利用引理7.3.3和齐次性可得

其中倒数第二个不等式由引理7.3.3可得，而最后一个不等式由引理7.2.1可得。注意到由引理7.3.3中q0的定义可推得

记c7，3，8=J1+J2，则由上述讨论可得c7，3，8＜∞。由此及（7.3.27）式有

利用的定义和Fourier逆变换公式可得

由（7.3.15）式和τE（s）的齐次性有

而由引理7.3.3（i）和q0≥1有

由此和（7.3.30）式可得

通过令可得（7.3.8）式成立。从而定理7.3.1的证明完成。