各向异性随机场的样本轨道性质:稳定型局部不确定性和引理

关于某个矩阵E的极坐标变换在本章是一个重要工具，关于这方面的知识可参阅§1.2。设E是一个N×N的矩阵，其所有特征值的实部都是正数，并将它们记为a1，…，ap（p≤N），同时不妨设a1＜a2＜…＜ap（该假设只是为了后面处理的方便，而并非本质的）。关于矩阵E的极坐标表示为（τE（s），lE（s）），即对任给的可表示为τE（s）lE（s），也就是s=τE（s）lE（s）。

下面的引理给出与算子rE相关的一个估计。

引理7.2.1　设E是一个N×N矩阵，其所有特征值的实部为a1，…，ap（p≤N），且设0＜a1＜…＜ap。则对任意充分小的δ＞0和任意的

存在一个正的常数C7，2，1使得

证明　由于τE（·）是关于矩阵E对齐次函数，所以τE（rEθ）=r，故结论容易由引理1.2.8得到。

下面介绍随机场Y局部不确定性的定义（参见Nolan（1989））。对任意的整数n≥0和用符号表示由函数集所生成的的子

空间。和的距离记为

这等价于（见Ayache和Xiao（2016））。

其中范数由（1.2.5）式定义。由（1.2.6）和（1.2.7）式可得

其中span{Y（s1），…，Y（sn）}表示由{Y（s1），…，Y（sn）}张成的Lα（Ω）的子空间。(www.xing528.com)

下面关于局部不确定性的定义取自Nolan（1989）。

定义7.2.2　设随机场由（1.2.3）式所定义，

是一个闭矩形，如果Y满足下面三个条件，则称Y在I上是局部不确定性的（LND）：

（i）对任意的

（ii）对所有充分接近的、不同的

（iii）对任意的n＞1，

其中下极限liminf是对所有满足取定的。

注意这里的符表示

显然对任意的n个点s1，…，sn∈I，存在一个{1，…，n}的置换σ使得sσ（1），…，sσ（n）满足（7.2.5）式（见Nolan（1989））。