各向异性随机场的样本轨道性质及6.3Hausdorff测度

Xiao（2009）确定了一类时间各向异性高斯随机场像集的Hausdorff维数。随后，Luan和Xiao（2012）确定了该随机场像集的确切Hausdorff测度。在5.4中已经得到了一类时空各向异性高斯随机场像集的Hausdorff维数，也可见Ni和Chen（2018）。本节将确定该类时空各向异性平稳增量高斯随机场像集的确切Hausdorff测度。关于Hausdorff维数和Hausdorff测度的定义见§1.2。

为了便于后面的讨论，先介绍一些符号。在本小节中，恒假定H=（H1，…，HN）∈（0，1）N和α=（α1，…，αd）∈（0，1]d是两个固定的向量，而I=[0，1]N是一时间域中的立方体。令Q=

下面给出本节将讨论的随机场。设是概率空上一具有平稳增量的零均值高斯随机场，定义如下：为了方便起见，按Adler（1981）的方式称X为（N，d）-高斯随机场。本节还假定X满足下面3个条件：

（C1）X的各个分量是相互独立的。

（C2）存在正的常数c6，3，1和c6，3，2使得对所有的1≤i≤d有

成立。(www.xing528.com)

（C3）存在常数c6，3，3＞0使得对所有的1≤i≤d，任意的整数n≥1和所有的t，s1，…，sn∈I有

其中s0=0。

下面是关于所定义随机场的两点注。

注6.3.1　（i）如果X的各个分量Xi都是具有平稳增量的，且谱密度满足（6.2.18）式，则条件（C2）和（C3）成立。这是因为利用（6.2.25）式可得条件（C2），而由注6.2.3和（6.2.25）式，以的单调性可得条件（C3）。由于这里所定义的随机场并没有对它的谱测度进行限制，所以条件（C2）和（C3）显然要比上一节中的条件也更一般。

（ii）由条件（C2）知，X在I上具有一个样本轨道几乎处处连续的版本。因此，本节中总是假定X具有连续的样本轨道。