各向异性随机场的不确定性谱条件

时间：2023-10-20 理论教育版权反馈

【摘要】：Xiao研究了近似各向同性高斯随机场具有强局部不确定的谱条件，所谓近似各向同性是指对某非降函数φ，在h=0的某个邻域有如果σ2仅依赖于各向异性度量ρ（0，h），则称是各向异性高斯随机场，其中对定义各向异性度量ρ如下Luan和Xiao研究了当φ=r时各向异性高斯随机场具有强局部φ-不确定性的谱条件。对某个非降函数φ，本节研究各向异性高斯随机场的强局部φ-不确定性的谱条件，主要结论是下面的定理6.2.1和定理6.2.5。

各向异性随机场的不确定性谱条件

在给出本章的主要结果之前，先做一些准备。设E是一N×N矩阵，且E所有特征值的实部都是大于或等于1。将全部特征值的实部记为a1，…，ap（p≤n），且不妨设a1和ap分别是这p个值中的最小和最大值。由§1.2的第4小节，可定义矩阵E的迹和关于矩阵E的极坐标（τE（x），lE（x）），且引理1.2.8和引理1.2.9仍然成立。

由（6.1.4）式，如果σ2（h）仅依赖于则称X0是各向同性高斯随机场。Xiao（2007）研究了近似各向同性高斯随机场具有强局部不确定的谱条件，所谓近似各向同性是指对某非降函数φ，在h=0的某个邻域有如果σ2（h）仅依赖于各向异性度量ρ（0，h），则称是各向异性高斯随机场，其中对定义各向异性度量ρ如下

Luan和Xiao（2012）研究了当φ（r）=r时各向异性高斯随机场具有强局部φ-不确定性的谱条件。

对某个非降函数φ（显然φ（r）=r是非降函数），本节研究各向异性高斯随机场的强局部φ-不确定性的谱条件，主要结论是下面的定理6.2.1和定理6.2.5。证明的思想是基于Xiao（2007）关于近似各向同性高斯场谱条件的处理方法，也可见Kahane（1985），Pitt（1975，1978）和Berman（1988，1991）。下面是本节的第一个主要结论。

定理6.2.1　设X0={X0（t），t∈RN}是一具有平稳增量的零均值、实值高斯随机场，且X0（0）=0。用Δc表示X0的谱测度Δ的绝对连续部分，从而Δc关于Lebesgue测度的密度函数存在，记为f。设E是一N×N矩阵，且E的所有特征值的实部都大于或等于1。假设存在两个局部有界函数满足下面条件：

（i）φ（0）=0，且对任意的r＞0，有φ（r）＞0；

（ii）对任意的有

（iii）存在一个正的有限常数η，使得对任意的充分大时有

对任给的T＞0，令J=J（T）=[-T，T]N，则存在一个正的常数c6，2，1，使得对任意的t∈J\{0}，0＜r＜min{1，τE（t）}有

特别地，X0在超立方体[-T，T]N上是强局部φ-不确定的。

为了证明定理6.2.1，需要用到下面的引理6.2.2。该引理是Xiao（2007）中引理2.2的一个直接结论。事实上，由（6.2.2）和（6.2.3）式可得，存在正的常数K，η′使得成立，从而由Xiao（2007）中引理2.2的证明方法可得。

引理6.2.2　设Δ的密度函数f满足条件（i）—（iii），则对任意给定的c常数T＞0和c6，2，2＞0，当

时，存在一个正的常数c6，2，3使得对所有形如下式

（这里bk的函数g，可得

定理6.2.1的证明如下：

因为（6.2.4）中的条件方差是X0（t）与{X0（s）：s∈I，τE（s-t）≥r}所生成子空间的距离，所以只需证明对任意的＜r＜min{1，τE（t）}，存在一个正的常数c6，2，1，使得对任意的整数n≥1，以及所有和满足条件τE（sk-t）≥r（k=1，2，…，n）的所有sk∈[-T，T]N有

成立即可。利用（6.1.3）和（6.1.4）式，可得

其中令s0=0，b0=

下面选择一个取值于[0，1]上的凸函数使其满足δ（0）=1，以及当时，有δ（x）=0。设是δ（·）的Fourier变换，则且当t→∞时，是快速递减的，即当x→∞时，对任意的l≥1，有

由此及引理1.2.8知，对任意的l≥1，

利用变量替换u=和逆Fourier变换，可得

其中E′表示矩阵E的转置。因为对所有的k=所以由的齐次性：有

从而对所有的k=0，1，…，n可得δ（r-E（sk-t））=0。因此由（6.2.8）式，可得

设定义

由引理6.2.2和引理1.2.8可推得，对任意给定的常数T＞0和c6，2，4＞1，存在一个正常数c6，2，5使得对形如g（λ）的任意函数，在条件τE（λ）≤1下，有

以及在条件1＜τE（λ）≤c6，2，4下，有

其中δ＞0是一个充分小的常数。现在选择上面的常数c6，2，4＞1使得对任意满足条件的λ，（6.2.3）式成立。由此可证明（6.2.8）中第一个积分的上界。事实上，先将（6.2.8）式中的第一个积分的积分区域划分成三个区并将三个积分分别记

由（6.2.10）和（6.2.6）式有，

同理，由（6.2.11）和（6.2.6）式有，

注意（6.2.12）和（6.2.13）式中的正常数c仅依赖于T和c6，2，4。利用Cauchy-Schwartz不等式，可得

其中不等式由（6.2.6）式和极坐标变量替换保证。由（6.2.2）和（6.2.3）式有，

联合（6.2.12）—（6.2.15）式，可得

由此和（6.2.9）式，可得

这就证明了（6.2.5）式是成立的。因此本定理证毕。

注6.2.3　当J是由有限个元素构成的集合时，由定理6.2.1的证明知，定理6.2.1的结论仍然成立。

同Xiao（2007）类似，需要研究φτE（b（））和σ（b）之间的关系，该关系可用来研究高斯随机场X0的样本轨道性质。本章将证明，在一个与Xiao（2007）（也可见Berman（1988，1991））类似的条件下，存在一个非降函数φ使得X0是SLφND，且函数φτE（b（））和σ（b）是可比较的。下面先做一些符号说明。在本节剩余部分，恒设且φ（0）=0，则φ是[0，∞）上是非降且连续的函数。令假设谱测度Δ的密度函数f（λ）满足条件：

其中βN=μ（SN）。这里μ，SN如引理1.2.9所定义。(www.xing528.com)

首先可得如下引理。

引理6.2.4　若（6.2.18）式成立，则对任意的存在一个常数r0＞0使得对所有的0＜x≤y≤r0，有

更进一步地，

（i）当δ充分小时，

（ii）函数φ具有坐标伸缩性质。即，存在一个正常数c6，2，6使得对所有的0＜r＜r0/2，有

证明　因为G（r）=所以由引理1.2.9知，

从而采用Xiao（2007）的处理方法可得（6.2.19）式。下面证明结论（i）和（ii）成立。

（i）利用（6.2.19）式左边的不等式可得，

注意到0＜x≤y≤r0，则是（0，r0]上的非增函数。故

从而

由于δ可选得充分小使得成立，所以（i）成立。

（ii）令y=2x，则结论由（6.2.18）式立得。引理6.2.4证毕。

下面的定理证明了，在条件（6.2.18）式下，当τE（b）在原点0附近时，X0是SLφND且φτE（b（））与σ2（b）是可比较的。

定理6.2.5　设是一初值为0，且具有平稳增量的零均值实值高斯随机场，f是随机场X0的谱测度Δ的密度函数，以及E是一所有的特征值实部都大于或等于1的N×N矩阵。假设f满足条件（6.2.18），则

此外，对每个T＞0，X0在立体[-T，T]N上满足SLφND。

证明　本定理的证明将借助于Xiao（2007）中定理2.5的证明思想。由条件（6.2.18）可得，对任意的存在常数ω0∈（0，r0]（此处的r0由引理6.2.4所定义，也不妨设r0≤1）使得对满足τE（λ）的所有下式成立：

为了证明（6.2.25）式成立，只要证明当且τE（b）充分小时，是介于两个正的常数之间即可。由于τE（b）充分小，不妨设τE（b）＜ω0≤1。令T＞0是满足TτE（b）＜1的任一常数。将（6.1.4）式的积分区域划分为和 pagenumber_ebook=107,pagenumber_book=97 三部分，并将在它们上面的积分分别表示为J1，J2和J3。