各向异性随机场样本轨道的Hausdorff维数为5.3.1

首先考虑逆向集的Hausdorff维数。

定理5.3.1　设X=是一个零均值，值高斯随机场，且满足条件（C1）—（C3）。如果是一个Borel集且则下面的结论成立。

（i）几乎必然有

特别地，如果则

（ii）如果则对每个ε＞0，在某个正概率事件集（可依赖于ε）上有

特别地，如果则在某个正概率事件集上有

证明　首先证明定理的第一部分（i）。由Hausdorff维数的σ-稳定性，不妨假设存在某个常数M＞0，使得然后再证明（5.3.1）式几乎必然成立。对任意给定的常数存在一列半径为rj＜δ0（δ0在引理5.2.4中定义）的开球使得

其中对所有的j≥1，可设因为对每个j≥1，可以将立方体I划分成个边长为的矩形Cj，i，所以I在度量ρ下可被至多个半径为的开球所覆盖。设Nj表示满足条件Cj，i的矩形Cj，i的个数。从而由引理5.2.4有

又因为所以满足条件的矩形Cj，i全体构成的一个覆盖。令

联合（5.3.4）和（5.3.5），可得

由此及Fatou引理，有因此又因是任意给定的，所以当令ζ趋于时，结论显然成立。

现在证明定理的第二部分（ii）。设是一个给定的常数，则存在一个紧集使得由Frostman引理（见引理1.2.6）知，存在支撑集在Fγ上的一个Borel概率测度μ0，γ使得对所有的有

其中c5，3，1可能依赖于γ。

为了获得所要的结论，下面采用Biermé等人（2009）中的论证方式。即只要能构造一列支撑在I上的随机Borel概率测度且满足下面的性质：

（i）存在有限正的常数c5，3，2和c5，3，3（有可能依赖于γ）使得对所有的整数n≥1，有

（ii）对常数βε=Q-Λ+存在一个有限正的常数c5，3，4使得对所有的n≥1有

则定理结论成立。

为此，先构造支撑集在I上的一列随机测度如下：

因为概率测度μ0，γ是支撑集在紧集Fγ上的，所以（5.3.8）式的第一个不等式可以采用与（5.2.47）式相类似的方法证明。下面证明（5.3.8）式的第二个不等式。利用与（5.2.48）式相同的处理方法和引理5.2.3，可以证明(www.xing528.com)

下面将（5.3.11）式中内积分的积分区域划分成并将在它们上面的定积分分别表示为

对每个固定的用κx表示在到的映射S：y↦τ（x，y）下，测度μ0，γ的像测度。显然有

其中上面的不等式由（5.3.7）式和分部积分公式可得。

现在来估计首先有

上面的不等式由（5.3.7）式可得。

联合（5.3.11）—（5.3.13）式，可得

又因为所以Λ-γα1＜Q。因此上面的定积分收敛，这就证明了（5.3.8）式中的第二个不等式。

采用与处理（5.3.11）—（5.3.14）式相类似的方法，可得

由于所以故上面的定积分收敛，这就证明了（5.3.8）式。

因此，利用文献Kahane（1985）中的讨论方法，可以证明：存在一个概率至少为的事件集Ωγ，使得对每个ω∈Ωγ存在的子序列弱收敛于一个正的测度且该测度支撑集在X-1（F）∩I上。此外，势能是有界的。由此以及单调收敛定理知，在事件集Ωγ上，μγ的势能是有限的。故由引理1.2.7可得，在一个概率至少为的事件集上，（5.3.2）式是成立的。从而定理5.3.1得证。

由定理5.3.1立得下面的推论，该推论确定了水平集的Hausdorff维数。

推论5.3.2　设X=是一个零均值，值高斯随机场，且满足条件（C1）—（C3）。如果Q＞Λ，则对每个在一个正概率事件集上有

注5.3.3　对任意的函数：定义为

则联合（5.3.1）和（5.3.2）式，可得，

下面的条件取自Biermé等人（2009）：

（S）存在一个有限的常数c5，3，5≥1，使得对每个存在一个支撑在紧集F的概率测度μ0，γ使得对任意的有

利用条件（S）和Biermé等人（2009）中相同的处理方式，可得下面的定理。

定理5.3.4　设X=是一个零均值，值高斯随机场，且满足条件（C1）—（C3）。如果是一Borel集满足且满足条件（S），则以正的概率有