各向异性随机场的一致维数结果

本节将考虑空间各向异性高斯随机场像集的一致维数结果。为此，我们进一步假设X满足下面的条件：

（C2′）存在常数c4，4，1＞0使得对所有i=1，…，d，任意的整数n≥1和所有的u，t1，…，tn∈I，有

注4.4.1　条件（C2′）是众所周知的强局部不确定性条件。由条件（C2′）可推得条件（C2）是成立的。因此4.3节的结论在条件（C1）和（C2′）下仍然成立。

下面定理是本节的主要结论，说明在度量τ下空间各向异性高斯场像集具有一致Hausdorff维数结果。

定理4.4.2　设X=是满足条件（C1）和（C2′）的指数为α的高斯随机场。如果则

注4.4.3　由Hausdorff维数的σ-稳定性，我们只需要证明对任意的紧集对任意的Borel集成立。为方便起见，在本章剩下的部分假设

为了证明定理4.4.2，需要如下的两个引理。

引理4.4.4　当时，设δ＞0和β∈（2α1-δ，2α1）是两个给定的常数。则以概率1，对任意充分大的整数n，存在超过个不同的点且这些点具有tj=kj4-n∈I的形式，其中kj∈{1，2，…，4n}N，使得

证明　用An表示事件：存在超过个不同的点且这些点具有tj=kj4-n∈I的形式使得（4.4.3）式成立。用Nn表示使得（4.4.3）式成立的不同点t1，…，tn∈I所构成的n元有序对的个数，即，

因为

所以由Markov不等式有

下面估计由（4.4.4）式有，

又因为X1，…，Xd是相互独立的，所以

注意到X是满足条件（C2′）的，即局部不确定性。由此知存在常数c4，4，2＞0使得对所有i=1，…，d，任意整数n≥1和所有的u，t1，k…，tn∈I，

下面的论证方式与Wu和Xiao（2009）或Khoshnevisan等人（2006）类似，但是为了完整性，本章仍然给出详细证明。首先固定n-1个不同的点t1，…，tn-1并计算下面形式的总和：

当固定t1，…，tn-1时，则存在至多（n-1）N个点ζu，并将其全体记为Γn={ζu}。显然，t1，…，tn-1都包含在Γn中。

由（4.4.7），（4.4.8）式和条件概率公式可得

若tn∈Γn，则显然有

因此，由（4.4.10）和（4.4.11）式有

注意到

因为当时，对所有固定的ζu有(www.xing528.com)

因此由（4.4.13）和（4.4.14）知，

联合（4.4.12）和（4.4.15）式，可得

如此重复下去，最后可得

互不相同

从而可推得

再由（4.4.5）和（4.4.18）式有

其中上式用到如下不等式：

因为0＜2α1-β＜δ，所以由（4.4.19）式立得因此由Borel-Cantelli引理可得故引理证毕。

当n=1，2，…，k=（k1，…，kN）∈{1，2，…，4n}N时，定义

引理4.2.1和引理4.4.4可推得下面的引理。

引理4.4.5　设δ＞0和2α1-δ＜β＜2α1是两个给定的常数。则以概率1，对所有充分大的整数n和半径为2-nβ的所有球至多只能与个矩形相交。

下面开始证明定理4.4.2。

首先是上界的证明。显然

可由X的一致连续性（见引理4.2.1）可得。

为了证明下界，只需证明以概率1，对每个紧集有

设固定的，同时选择并固定ε0，δ∈（0，1）和0＜β＜1使得2α1-δ＜β＜2α1。则由Hausdorff维数的定义，存在τ-球列Bτ（x1，r1），Bτ（x2，r2），…可以覆盖F，且

利用引理4.4.4可得，除了一个零测度集外，对足够大的n有，是至多个半径为的球的并集。令α=α1γ+

并联合（4.4.23）是可得

因此几乎必然有

又因为δ＞0和γ＞是任意给定的，当令时，（4.4.22）成立。这就证明了定理4.4.2。