各向异性随机场的样本轨道维数为

本节主要研究§4.2节中所定义的空间各向异性高斯场X像集的Hausdorff维数和填充维数。

定理4.3.1　设X=一满足条件（C1）和（C2）的指数为α的高斯随机场，则对任意的有

证明　将证明分成两部分，一部分利用覆盖的方法证明上界，另一部分利用容度的讨论方法证明下界。

首先证明上界。因为所以由维数的单调性和（4.2.3）式有

因此对于上界，只需证明。由Hausdorff维数的σ-稳定性，不妨假设E⊂I。再由Hausdorff测度的定义知，对于任意的γ＞dimHE，δ＞0存在E的一列球覆盖{B（tj，rj）}使得rj≤δ且利用引理4.2.1，可得

因此，每个X（B（tj，rj））在度量τ下可由半径为的球覆盖，又因为所以X（E）可由一列半径为的τ-球所覆盖。由

有

因为ε＞0且γ＞dimHE是任意给定的，所以

这就证明了定理4.3.1的上界。

为获得下界，只需要证明对任意的有

其中ε＞0是一个任意常数。

因为所以存在一个正整数k∈{1，…，d}使得

因此可以选择ε充分小使得

又因为α1η＜dimHE，所以由Frostman引理（引理1.2.6）知，存在E上的一个概率测度σ使得

令μ是映射t↦X（t）下的像测度，则μ是X（E）上的一个概率测度。为了证明只需证明

为此，注意到

又因为X1，…，Xd是独立同分布于正态分布的随机变量，所是独立同分布于标准正态分布的。故

其中而第一个等式由变量替换可得。注意到

其中c4，3，1，c4，3，2和c4，3，3仅依赖于γ。首先对（4.3.10）式最后一个积分对x1积分，可得（4.3.10）式的最后一个表达式是小于等于

对dx2，…，dxk-1重复上面的讨论，可得（4.3.13）式小于等于

又因为X是指数为α高斯随机场，所以对任意的ε＞0（这里可假设ε与（4.3.4）式中的ε相同），存在0＜δ＜1，c4，3，4≥1使得对所有的i=1，…，d，和有

由此，当时，（4.3.14）式小于

为了简化符号，令

下面证明事实上，将中的积分区域划分为并将在这两个区域上的积分分别记联合（4.3.9）—（4.3.16）式，有

其中最后一个不等式由（4.3.7）式可得。

另一方面，

联合（4.3.9）—（4.3.18）式，可得

因此（4.3.8）式几乎处处成立。这就证明了定理4.3.1。

下面开始考虑空间各向异性高斯场X的填充维数。先做些准备。对上的任意Borel测度μ和上任意的Borel集B，X的像测度μX定义为

对任意的Borel集下面的引理能够将和像测度的填充维数联系起来。(www.xing528.com)

引理4.3.2　设是一解析集，则对任意的连续函数有

证明　采用Xiao（1997）引理4.3相同的方法即可证明。

下面的定理给出了在度量τ下用填充维数剖面来表示像测度的填充维数。

定理4.3.3　设是满足条件（C1）和（C2）的指数为α的高斯随机场，则对上的任意有限Borel测μ，有

证明　证明方法是基于Estade等人（2011）定理4.1的证明思想。先证明几乎处处成立。对任意的由（4.2.4）式可得，对有

即，对

利用引理4.2.1，可得对任意的s，t∈I，

其中c4，3，5≥1。因此

由此可得

其中最后一个等式来自变量替换联合（4.3.24）和（4.3.27），有

从而又因为γ＜和ε＞0都是任意常数，所以这就证明了几乎处处成立。

下面证明反向不等式几乎处处成立。对任意的由Fubini定理有

显然有

利用X1，…，Xd的独立性，可得

下面估计（4.3.30）式右边的第二项表达式。设X（s）-X（t）的分布为Γs，t（·），ν是从到映射y↦τ（0，y）下的像测度，则

其中第一个不等式来自分部积分公式，最后一个不等式由（4.3.31）式可得。现在将上述积分的积分区域划分为和{ρ：

并将在它们上面的积分分别表示则有

和

由（4.3.30）—（4.3.34）式知，对任意的0＜λ＜1，有

对任意的γ＜由引理4.2.2知，存在ε＞0和λ＞0使得γ＜由（1.2.24）式有，

利用（4.3.30），（4.3.35）和（4.3.36）式，可得

其中第一个等式由变量替换公式可得。因此又因为和ε＞0都是任意给定的，所以故定理得证。

利用（1.2.27）式，可以获得与定理4.3.3相对应的像集的填充维数。

定理4.3.4　设X=是满足条件（C1）和（C2）的指数为α的高斯随机场，则对任意的解析集有

证明　先证明上界。因为具有σ-稳定性，不妨假设E是有界的。因此存在立体I使得由定理4.3.3知，对任意的有

因此由引理4.3.2和（1.2.27）式，可得

故上界得证。下面证明下界。对任意的存在使得由定理4.3.3有因此

又因为θ是任意常数，所这就证明了定理4.3.4。