各向异性随机场的样本性质及变量替换示例

时间：2023-10-20 理论教育版权反馈

【摘要】：如果α=0，则由式有，利用变量替换可得又由控制收敛定理知因此有作为例子，如果令α∈（0，1），l（1/x）=1，则存在具有平稳增量的零均值高斯随机场X0满足X0=0和其中φ=xα。例2.4.1设X=是由所定义的值高斯随机场。若d＜则式中的下界在Kν=1时成立。注2.4.3在结论—中，由于所以φ不是一个规范函数。

各向异性随机场的样本性质及变量替换示例

在本节中，将利用Bernstein理论和Estrade等人（2011）的方法构造由（2.2.2）定义的高斯随机场，该随机场具有平稳增量，且满足γ（x）=xαL（x），其中α∈[0，1）是一个常数，L（x）在x=0处是规则慢变的非负函数。从Xiao（2009）或Xue和Xiao（2011）的文中可得，存在许多具有平稳增量的高斯场例子，且这些高斯场的增量二阶矩与ρ2（s，t）是可比的，即存在具有平稳增量的高斯场满足

其 pagenumber_ebook=37,pagenumber_book=27 因此，由Estrade等人（2011）中的命题2.1知，只要能够构造出一类Bernstein函数φ满足

则可得到所要构造的例子。

由Schilling等人（2012）定理3.2可知，对任一Bernstein函数φ可表示为

其中a≥0，b≥0，ν是（0，∞）上的Lévy测度并满足

令a=b=0，并选择Lévy测度ν满足

其中α∈[0，1）是一个常数，L是在0附近规则慢变化的函数。为此，由Fubini定理有，

因为当x→0+时，φ（x）的渐近行为是由ν（[t，∞））在t→∞时的渐近行为确定的，所以我们将令

其中α∈[0，1）是一个常数，l（t）是在无穷远附近规则慢变化的函数。可以证明ν是一个Lévy测度（这由Schilling等人（2012）的注3.3（iii）可得）。

如果α=0，则由（2.4.1）式有，

利用变量替换可得

又由控制收敛定理知

因此有

作为例子，如果令α∈（0，1），l（1/x）=1，则存在具有平稳增量的零均值高斯随机场X0满足X0（0）=0和

其中φ（x）=xα。即γ（r）=显然，γ（r）满足2.2中关于γ（r）的所有条件。因此可得到第一个例子，与该例子相关的结论可见Xiao（2009）和Biermié等人（2009）。

例2.4.1　设X=是由（2.2.2）所定义的值高斯随机场。如果0＜H1，H2，…，HN＜1，γ（r）=rα（0＜α＜1）和d≥

则对Rd中任意的Borel集F，存在常数c2，4，3，c2，4，4＞0使得

如果令α∈（0，1），l（1/x）=则存在具有平稳增量的零均值高斯随机场X0满足X0（0）=0和

其中φ（x）=因为证明中主要只涉及γ（r）在原点附近的情况，所以从现在起我们将假设r∈[0，1）。因此γ（r）=

故有

例2.4.2　设X=是由（2.2.2）所定义的值高斯随机场。如果H∈（0，1）N，γ（r）=rαlogβ（1/r），0＜α＜1，β∈R。则下面的结论成立：

（i）若d＞ pagenumber_ebook=39,pagenumber_book=29 则对中任意的Borel集F，存在常数c2，4，5，c2，4，6＞0使得

其中φ（s）= pagenumber_ebook=39,pagenumber_book=29 (www.xing528.com)

（ii）若d= pagenumber_ebook=39,pagenumber_book=29 则对中任意的Borel集F，存在常数c2，4，7＞0使得

其中φ（s）=

（iii）若d= pagenumber_ebook=39,pagenumber_book=29 则对中任意的Borel集F，存在常数c2，4，9＞0使得

其中Kν（s）=

（iv）若d=，则（2.4.5）式中的下界在Kν（s）=1时成立。

（v）若d＜ pagenumber_ebook=39,pagenumber_book=29 则（2.4.5）式中的下界在Kν（s）=1时成立。

注2.4.3　在结论（iii）—（v）中，由于所以φ（s）不是一个规范函数。因此用本文的方法无法得到碰撞概率的上界。但是由结论（iii）—（v）知，当d= pagenumber_ebook=39,pagenumber_book=29 且β≥0或d＜时，X以正的概率击中F。

证明　（i）与Nualart和Viens（2013）的命题4.7类似地可证明：如果极存在，则函数K和1/φ是相当的当且仅当d＞如果能够验证γ（r）是连续的，严格递增的和向上凸的，且满足条件（C2）、（C3）和d＞Q/则结论成立。而γ（r）的这些性质可用Nualart和Viens（2013）的论证方式加以验证。