各向异性随机场的碰撞概率及上下界证明

本节主要是确定第2.2节中所给出的高斯随机场碰撞概率的上下界，并给出证明。我们先介绍一些概念和记号。

令

则函数Kν是到的映射，且可以作为一个势核。因此，由（1.2.28）和（1.2.29）可以得到关于势核Kν的能和容度，分别记为

和。

定义φ（s）：=，则当d≥Q时，φ（s）在0附近是右连续非降函数，且满足设F是中的一个Borel集，则由（1.2.11）可得F的φ-Hausdorff测度，记为

上述F的φ-Hausdorff测度是在欧氏度量下给出的。在本节主要涉及到一新度量下的Hausdorff测度。把这一定义在空间上的新度量记为即

对任意的β＞0和G由1.2.10可得G在度量下的β-维Hausdorff测度为

其中是度量空间中半径为r的开球。可以证明是一外测度，且所有的Borel集都是-可测的。

设α＞0，在新度量空间上定义牛顿-α（α＞0）容度为

其中表示支撑集在G上的Borel概率测度全体（见§1.2的第三部分）。

下面给出本章的主要结论，即碰撞概率的上下界。

定理2.3.1　设X=是由（2.2.2）式所定义的值高斯随机场。如果都是Borel集，则存在只依赖于E，F和H的正常数c2，3，1，c2，3，2，使得下面的结论成立：

证明　先证明（2.3.6）式的上界。不妨假设

，否则（2.3.6）式的上界显然成立。由此，可以选择并固定任意给定的常数ζ使得ζ

成立。由Hausdorff测度的定义知，存在一列球

使得

显然有

由引理2.2.3有

联合（2.3.7）和（2.3.8）式，可得

由于是任意给定的，所以上界得证。

下面证明（2.3.6）式的下界。不妨假设否则（2.3.6）式的下界显然成立。由Choquet容度定理（见Khoshnevisan（2002）），可假定F是一紧集，从而存在常数M＞0使得

由容度的定义知，存在使得

考虑定义在E×F上的随机测度列其中

将测度νn的总质量表示为‖νn‖：=νn（E×F），下面证明存在仅依赖于n和μ的正常数c2，3，3，c2，3，4有

首先有

这就证明了（2.3.12）式中的第一个不等式。

下面证明（2.3.12）式中的第二个不等式。显然

令D（δ）={（（s，x），（t，y））∈（E×F）2：

然后将（2.3.14）式右边定积分的积分区域划分为并将在每块子区域上的定积分分别记为

因为X1，…，Xd是独立同分布于X0的，且Φn（s，t）是正定的，所以

如果（（s，x），（t，y））∈（E×F）2\D（δ），则由（2.3.15）式，

注意到

由Cauchy-Schwarz不等式，函数在I上非负且连续。又因为γ（r）=0⇔r=0，所以该函数仅在s=t时为0。因此，对任意的（（s，x），（t，y））∈（E×F）2\D（δ），det（Φn（s，t））≥c。故

由于s，t∈E⊆I和x，y∈F⊆[-M，M]d，所以存在正常数c2，3，5，c2，3，6使得ργ（s，t）≤c2，3，5且≤c2，3，6，因此更进一步地，有(www.xing528.com)

另一方面，如果（（s，x），（t，y））∈D（δ），则由引理2.2.4有，

联合（2.3.16）和（2.3.17）式，可得

因此，由Kahane（1985）所用的方法，可以证明存在支撑集在X-1（F）∩E上的有限正测度ν，使得νn弱收敛于ν，且

故下界得证，从而整个定理得证。

设E=I则可得下面的推论。

推论2.3.2　设X=是由（2.2.2）所定义的值高斯随机场。如果d≥Q，I由（2.2.4）式所定义，且是任意的Borel集，则存在仅依赖于I，F和H的常数c2，3，7，c2，3，8＞0使得

证明　只需证明对任意的区间I，存在有限常数c2，3，9＞0和c2，3，10＞0使得对所有的Borel集F⊆[-M，M]d，有

和

首先证明（2.3.20）式。任意的常数ζ＞

存在一列球{B（yk，rk），k≥1}⊂使得

对每个k≥1，将矩形I划分成个边长为

…，N）的立方体Ck，l，因此I××B（yk，rk）。

这就得到I×F的一个半径为rk的球覆盖（在度下）。故

这就证明了（2.3.20）式。

下面证明（2.3.21）式。不妨假设否则（2.3.21）式显然成立。由容度的定义（见1.2.29）有，对任意的0＜ζ＜存在支撑集在F上的概率测度σ使得

设λ是I上的规范化Lebesgue测度（即I上的均匀分布）。令μ=λ×σ，则μ是I×F上的一个概率测度。为了证明（2.3.21）式，只要验证下面的式子成立：

又因为

所以只要证明

为此，将（2.3.24）式左边的积分区域划分为{（s，t）∈

并将在这两个积分区域上的积分分别记

首先，利用如下的事实：对任意的s∈I，集合

是包含在一个边长为的矩形中，可得

利用变量替换u=b-a和ργ（s，t）的定义，有

其中h由（2.2.5）定义。由变量替换和Dirichlet积分

以及经过一些基础的计算可得

如果能够证是有界的，则J1≤cν（γ-1由此和（2.3.27）式有

整个证明只剩下说明是有界的。事实上，利用变量替换v=γ-1（）可得

为了证的有界性，只要证明定义在（0，h]上的函数

是有界的即可。又因为上面式子最后一个表达式的分子分母都是关于v的连续函数，所以只要证明即可。

为此，令如果ν是有界函数，则由ν的

定义可得另一方面，如果ν是无界函数，则利用L'Hôpital法则，可得

由条件（C3）有，对每个充分接近于0的v，γ（v）/v≥γ′（v）。由此，当d≥Q时，故整个定理证毕。