关于各向异性随机场的模型、引理及样本轨道性质

设H=（H1，H2，…，HN）∈（0，1）N，γ（r）：是一连续的、严格递增函数，且满足如下条件：

（C1）存在常数m，r0＞0，使得对所有r∈[0，r0]，有

（C2）

（C3）γ（r）是一上凸函数，且具有连续的导数。利用函数γ，可以定义如下各向异性度量：

设X=是定义在概率空间上取值于的高斯随机场，即

其中X1，…，Xd独立同分布于X0。假设X0是一零均值高斯随机场，满足X0（0）=0 a.s.和如下条件：存在常数l＞1，使得

成立。其中定义见（2.2.1）。

注2.2.1　下面是关于上述条件的两点注解。

（i）在条件（C3）中，条件γ（r）是上凸的是用来保证ργ确实是一度量。然而，Hausdorff测度只考虑其覆盖类中的集合直径很小的情形，以及在本文中的容度只要考虑到核函数在原点附近的情形，所以只需假设γ（r）在原点附近是上凸的即可。

（ii）由条件（C2），有为方便起见，不妨设γ（0）=0。

另外，令σ2（t）表示Var（X0（t）），且假设σ（t）具有一阶连续偏导数。

下面先给出几个引理。为了符号上的简便，假设

不失一般性，可设0＜H1≤H2≤…≤HN＜1。令Q=且用h表示矩形I在度量ργ下的直径，即

引理2.2.2就是众所周知的高斯随机场的两点局部不确定性。

引理2.2.2　对任意（2.2.4）式中定义的I，存在δ＞0和一个仅依赖于I和H1，H2，…，HN的正常数c2，2，1，使得对任意满足的s，t∈I，有

证明　注意到

因为要么大于等于0，要么小于0，因此不妨假设X0（t））＞0。故（2.2.7）式中最后一个因式满足下式：

又因为σ（t）在闭矩形I具有一阶连续偏导数，所以存在常数δN+1＞0，c2，2，2＞0使得对满足的所有s，t∈I，有

其中c2，2，2仅依赖于I。由于γ（r）有连续的导数，可得

其中第一个不等式由条件（C3）可得。对每个j=1，…，N，Hj∈（0，1），存在正常数δj使得对满足的任意sj，tj∈[aj，bj]，有

其中l如（2.2.3）式中所定义。令δ=min1≤j≤N+1{δj}。则由（2.2.9）—（2.2.11）式，并注意到γ是一递增上凸的函数，可得对满足的任意s，t∈I，有

由σ（t）的定义，（2.2.3）和（2.2.4）式中所定义的I，显然有

其中c2，2，4和c2，2，5是两个正常数。

再由（2.2.12），（2.2.13）和（2.2.3）式，存在δ＞0使得对满足的所有s，t∈I，有

联合（2.2.7），（2.2.8），（2.2.13）和（2.2.14）式，可得（2.2.6）式成立。引理2.2.2得证。

从现在开始，表示在度量ργ下中心在s，半径为r的闭球。下面的引理将用来证明定理2.3.1的上界，其证明方法类似于Biermé等人（2009）所用的方法。

引理2.2.3　设X=是由（2.2.2）式所定义的值高斯随机场，则对任意的M＞0，存在常数c2，2，6＞0，δ0＞0，使得对所有的r∈（0，δ0），s∈I和x∈[-M，M]d，有

证明　因为X的各个分量独立同分布于X0，所以只要证明（2.2.15）式在d=1时成立即可。由条件高斯分布的性质知，

注意到，对任意的t∈I，正态随机变量X0（t）-c（s，t）X0（s）和X0（s）是相互对立的。从而由三角不等式可得

其中Z0（s，r）=。再由（2.2.16）式和Cauchy-Schwarz不等式，以及（2.2.3）式，有(www.xing528.com)

因此，由（2.2.18）知，存在一个正常数η，使得对任意的r∈（0，η）和t∈（s，r）∩I，有1/2≤c（s，t）≤3/2。由零均值高斯过程c（s，t）X0（s）的单峰性，可得

因为Z0（s，r）和c（s，t）X0（s）是相互独立的，所以由（2.2.19）式和全期望公式有

为了估计考虑高斯过程Y0（t）=X0（t）-x-c（s，t）（X0（s）-x），t∈（s，r）∩I，并注意到Y0（s）=0，且其标准度量d（t，t′）=（t）-Y0（t′））2）1/2，∀t，t′∈Bργ（s，r）∩I。令D=。经过一些简单的计算可得

以及

其中常数c2，2，7，c2，2，8仅依赖于M和Nd（（s，r）∩I，ε）（这里Nd（（s，r）∩I，ε）是在度量ργ下（s，r）∩I的度量熵）。

由Dudley定理知

其中最后一个不等式由变量替换可得。将上式最后一个积分按积分区域分成两个定积分，可得

通过直接计算可得

下面计算K1。利用分部积分公式和变量替换可得

令δ0=min{η，r0}，则当0＜r＜δ0时，由条件（C3）有，

联合（2.2.21）和（2.2.24）式，可得E（Z0（s，r））≤cr。因此结论（2.2.15）式成立。引理2.2.3得证。

利用引理2.2.2可证如下引理

引理2.2.4　设X=是由（2.2.2）式所定义的值高斯随机场，则存在常数δ＞0和c2，2，9＞0，使得对任意的x，y∈，以及对满足≤δ的任意s，t∈I，有

其中Γn（s，t）=+Cov（X（s），X（t））。

证明　令Φn（s，t））=+Cov（X0（s），X0（t））。因为X1，…，Xd独立同分布于X0，所以

由于Φn（s，t）是正定的，故

其中det（Φn（s，t））表示Φn（s，t）的行列式。首先注意到

下面证明对满足的任意s，t∈I，以及对任意的有

其中常数c＞0仅依赖于I和引理2.2.2中的δ。为了证明（2.2.29）式，只要证存在仅依赖于I和H1，H2，…，HN的正常数c2，2，10，c2，2，11使得下面两式成立：

和

首先由（2.2.13）式可得（2.2.30）式。下面证明（2.2.31）式成立。由（2.2.3）式知，（2.2.31）式的分母小于等于。此外，由引理2.2.2和（2.2.30）式可得，（2.3.31}）式的分子满足：对满足的任意s，t∈I，有

其中c＞0仅依赖于I和H1，H2，…，HN。因此，对满足｜t-s｜≤δ的任意s，t∈I，有（2.2.31）成立。故（2.2.29）成立。

联合（2.2.26）—（2.2.29）可得，

当det（Φn（s，t））≥时，则

当det（Φn（s，t））＜时，则由基本不等式xd/2e-cx≤c2，2，12（∀x＞0），有

由（2.2.33）式和（2.2.34）式可知

注意到，对满足的任意s，t∈I，由引理2.2.2和恒等式

可得，

因此，由（2.2.32），（2.2.35）-（2.2.36）式可得（2.2.25）式成立。故引理得证。