正定矩阵的极坐标表示和变量替换

本小节的内容是关于某正定矩阵的极坐标和变量替换，主要在第6章和第7章用到。设E是一个n×n正定矩阵，则E所有特征值的实部都是大于0。将全部特征值的实部记为a1，…，ap（p≤n），且不妨设a1和ap分别是这p个值中的最小和最大值。令q表示矩阵的迹，即

这里li是实部为ai（i=1，…，p）的特征值的重数。对任意的存在关于正定矩阵E的极坐标，记为（τE（x），lE（x））。即对每个能够唯一的表示为x=τE（x）lE（x），其中τE（x）被称为径向部分，而lE（x）被称为方向部分。因为τE（x）是关于x连续的，且当x→0时，τE（x）→0，所以当令τE（0）=0时，则τE（x）在整个上是连续的。关于这种极坐标的更详细信息见Meerschaert和Scheffler（2001），Biermé等人（2007），以及Li等人（2015）。

下面的引理取自Biermé等人（2007），该引理用矩阵E特征值的实部和欧氏范数给出了τE（t）的增长率情况。

引理1.2.8　对充分小的δ＞0，存在正的常数c1，2，1，…，c1，2，4使得对满足或τE（t）≤1的所有t有

和，对满足(www.xing528.com)

或1的所有t有

下面的引理提供了关于正定矩阵极坐标下的极坐标变换，证明见Biermé等人（2007）。

引理1.2.9　在给定关于正定矩阵极坐标下，存在Sn上的唯一一个有限的Radon测度μ使得对所有上的绝对可积函数f（t）有，

其中Sn={t：τE（t）=1}是中在伪度量τE下的单位球面，而q是正定矩阵E的迹。