随机场的样本轨道性质第1章

在诸如气象学、气候学、地球物理学、环境科学、流行病学、统计地质学、空间统计学和水文学等学科中，所获得的数据往往跟具体的地点和具体的时间有关系，即它既有空间的相互结构，又有时间序列的相关性，甚至还有可能是时间和空间的相互结构。要对实际情况进行模拟时，必然要考虑到时间和空间的同时作用，因此时空模型应运而生。时空模型，它既考虑了空间的结构，又考虑了时间的因素，即考虑到了空间和时间两种属性的共同影响。因而时空模型可以很好地模拟现实情况。

由于时空模型包含了时间和空间的相互结构，且时空协方差函数给出了时间域和空间域中不同点的相互关系，因此在时空模型研究中，时空协方差函数是研究的重点。故模型的假设基本上也是基于时空协方差函数的假设。常见的假设有时空协方差函数是否具有各向同性和平稳性。

时空模型，也称为随机场（从现在开始，本书恒以随机场称之），根据其有限维分布是否服从高斯分布，可分为高斯随机场和非高斯随机场。目前，高斯随机场是随机场中最重要和最常见的，这是因为如下两个原因：

（1）根据泛函中心极限定理，很多自然现象可以用高斯随机场来刻画，如同很多现象可以用正态分布来刻画一样，所以用高斯随机场刻画自然现象是合理的；

（2）高斯随机场的有限维分布是具体的，且仅由它的均值函数和协方差函数来确定。

布朗单和分数布朗运动是两个最重要的高斯随机场。布朗单在不交的区间上具有独立增量，并且增量是平稳的，这一特殊的性质，使得布朗单在各个方面起着重要的作用，如在随机偏微分方程中（见Walsh（1986）），更详细的讨论可见Adler（1981）和Khoshnevsian（2002）。而分数布朗运动具有平稳增量和各向同性的（即增量仅依赖于参数空间两点间的欧氏距离），这使得分数布朗运动能很好的模拟具有自相似和长相依的现象，关于分数布朗运动的统计分析和应用见Doukhan等人（2003）。(www.xing528.com)

正如前面提到的，从各个学科获取的数据是具有时空相互结构的，那么它沿着不同的方向变化时，往往表现出不同的几何和概率特征，这就是所谓的各向异性。因此很多学者建议用各向异性的随机场来更准确的模拟现实，见Davies和Hall（1999），Bonami和Estrade（2003）和Benson等人（2006）。

许多学者从理论和实际应用方面构造出许多类型的各向异性随机场。如Kamont（1996）引入了分数布朗单，它是布朗单和分数布朗运动的推广且是各向异性的；Benassi等人（1997）和Bonami和Estrade（2003）考虑了具有平稳增量的各向异性高斯随机场。同时随机偏微分方程的解也经常是各向异性的高斯随机场（见Dalang（1999），Øksendal和Zhang（2001），Hu和Nualart（2009））。最近Xiao（2009）和Xue和Xiao（2011）引入了一般的具有平稳增量的各向异性高斯场，并研究了其样本轨道性质和渐近最优估计及预测。Xiao（2006）定义了两类stable随机场，一类是移动平均stable单，另一类是可调和stable单，这两类stable随机场可看成分数布朗单的自然推广；Biermé等人（2007）利用一类齐次函数构造出具有平稳增量的算子自相似高斯和平稳随机场；也有的学者从联合密度进行构造随机场的，见Dalang等人（2007，2009，2013），Chen（2014）。最近，Kremer和Scheffler（2017）通过一般向量值无限可分独立分散随机测度的构造给出了向量值随机场的构造方法。

虽然很多学者构造出许多的各向异性的随机场，并研究了他们的性质，但是仍然有许多问题值得人们去考虑和研究。（1）已构造的模型还有很多方面不完善，我们还可以对其改进优化，如增量的方差仅与时间域中各向异性度量成正比，显然实际中不会仅仅如此；（2）已构造的能很好模拟现实的模型，也还有很多的性质值得我们去探讨；（3）已构造的模型，往往只是从概率方面进行研究，在实际中我们更需要的是模型的估计。

各向异性随机场是一种特殊的随机场，在各个等领域有着重要作用。以往人们通常建立平稳的各向同性随机场来模拟现实的模型，但是由于现实的复杂性，表现出来的却不是各向同性的，这时就必须构造各向异性的随机场来模拟现实模型。而对于各向异性随机场样本轨道性质的研究有助于人们更深入地洞察模型。因而不管是在理论方面，还是在应用方面，对各向异性随机场模型的构造和样本轨道性质的研究有助于我们对现实模型的理解。本书主要是对各类各向异性随机场的样本轨道进行讨论。下面先介绍目前比较认可的三类各向异性随机场。