如何分割3个数使乘积最大？

很多求变数的最大值或最小值的题目，都可以利用代数定理来求解，这一小节中我们就将介绍这一定理。在此之前，我们先来看下面的题目。

【题目】两个数的和一定，要想它们的乘积最大，这两个数应该分别是多少？

【解答】设两个数的和为a，则所求的两个数可以表示为：

其中，x表示每个数与a/2的差。那么，两者的乘积就是：

显然，x越小，这个乘积就越大。当x=0时，也就是两个数相等时，它们的乘积最大。

接下来，我们再来看3个数的情形。

【题目】设3个数之和为a，如何分成3个数才能使它们的乘积最大？

【解答】对于这个题目，我们还要用到前面题目的结论。

假设分成的3个数互不相等，也就是说，每个数都不等于a/3，那么这3个数中必定有一个大于a/3，设这个数为：

a/3+x

同理，这3个数中必定有一个小于a/3，设这个数为：

a/3-y

其中，x和y都是正数，显然，第三个数就是：

a/3+y-x

由于a/3与（a/3-y+x）的和等于（a/3+x）与（a/3-y）的和，而前面两个数的差是（x-y），小于后面两个数的差（x+y）。那么，根据上一题目的结论，有：

这样的话，如果把a/3和（a/3-y+x）换成（a/3+x）和（a/3-y），第三个数不变，那么，它们的乘积就会增加。

现在，假设其中一个数为a/3，另外的两个数就可以表示为：

如果这两个数也等于a/3，那么，它们的乘积就会更大。这时的乘积等于：

换句话说，如果把a分成互不相等的3个数，它们的乘积一定比上面的乘积小。而将a平均分成3部分时，它们的乘积最大。同理，可以证明4个数、5个数，甚至更多数的情况。它们都是在各部分相等的时候乘积最大。(www.xing528.com)

下面，我们来讨论更一般的情形。

【题目】如果x+y=a，那么当x和y各取什么值时，xpyq的值最大？

【解答】本题其实就是求x为何值时，式子xp（a-x）q的值最大。

将上式乘以，得到：

显然，当这个式子的值最大时，前面的式子取到最大值。

对上式进行以下变换：

上面所有乘数的和

显然，它们的和为常数。

根据前面的分析，我们可以得出一个结论：当各个乘数相等的时候，它们的乘积

取得最大值，即x/p=（a-x）/q时，上面的乘积最大。

由于a-x=y，所以可得到下面的式子：

x/y=p/q

也就是说，当x和y满足上述关系时，xpyq取得最大值。

同理，也可以证明：

如果（x+y+z）保持不变，xpyqzr在x：y：z=p：q：r时取得最大值；

如果（x+y+z+t）保持不变，xpyqzrtu在x：y：z：t=p：q：r：u时取得最大值；

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