如何选择车站位置，以最短时间连接两点

【题目】如图20所示，在一条铁路线的一边有一座村庄B，它距离铁路线20千米。现在，要在铁路线上设一座车站C，使得沿铁路AC和沿公路CB，即从点A到点B所用的时间最短。已知火车的速度是0.8千米/分钟，步行沿着公路行进的速度是0.2千米/分钟。请问，车站C应该设在哪里？

【解答】设图中的距离AD为a，距离CD为x，则：

AC=AD-CD=a-x

乘火车从点A到车站C的时间为：

步行从车站C到村庄B的时间为：

从点A到点B所用的总时间就是：

问题就变成了，求上式的最小值。

设：

图20

变形后得到：

等式两边同乘以0.8，得：(www.xing528.com)

再设k=0.8m-a，化简后得到下面的方程：

解方程得：

由于k=0.8m-a，所以当m取最小值的时候，k也取最小值，反之亦如是。由于x必须是实数，所以（16k2-96000）应该不小于0。也就是说，16k2的最小值是96000，此时：

16k2=96000

当k=√6000时，m的值最小。

此时，

所以，这个车站C应该设在距离点D大约5千米的地方。

在上述分析过程中，并未考虑a的大小，在一开始我们就假设a＞x，所以只有当a＞x时，方程的解才有意义。如果x=a≈5.16，或a＜5.16千米，那么根本不需要设置车站C，只要沿公路从点A到点B就行了。

在本题中，我们比方程考虑得更周全一些。如果只是一味地信任方程，就会在x=a的情况下继续在车站A的旁边设一个车站C，这根本就是笑话。因为在这样的情况下，x＞a，乘坐火车的时间成了负数。这个题目提醒读者：在利用数学工具解答实际问题的时候，一定要很小心，千万不能脱离实际。否则的话，就会得出让人啼笑皆非的结果。