图18
在本章中,我们将讨论一些有意思的题目,即求最大值或最小值。对于这类题目的求解,方法有很多,这里只介绍其中的一种。
数学家切比舍夫在其著作《地图绘制》一书中写道:“有一种方法具有特殊的意义,它帮助人们解答了最普遍和最实际的问题,即如何实现利益的最大化。”
【题目】有两条垂直相交的铁路线,两列火车同时朝着交点开来。其中一列火车的出发点距离交点40千米,另一列火车的出发点距离交点50千米。已知前面一列火车的速度是800米/分钟,后面一列火车的速度是600米/分钟。那么,从它们出发开始算起,多长时间后这两列火车的车头距离最近,这个最近的距离又是多少呢?
【解答】我们可以先画一下示意图。如图18所示,直线AB和CD代表这两条铁路,两列火车分别从点B和点D出发,朝着点O的方向开动。假设两列火车在开出x分钟后车头距离最近,并设这个距离为MN=m。那么,从点B出发的火车所走的路程是BM=0.8x千米,所以:OM=40-0.8x。同理,可求得ON=50-0.6x。
根据勾股定理,可以得到:
解方程,得:(www.xing528.com)
因为x是经过的时间,所以不可能为虚数,因此m2-256肯定不小于0,即m2≥256。要求m的最小值,只有当m2=256时,m的最小值为16。此时,x的值为62。即,当两列火车开出62分钟时,它们的车头距离最近,这个距离是16千米。
图19
下面,我们来求一下此时车头的位置。很容易得出:
OM=40-0. 8x=40-0.8×62=-9.6
ON=50-0. 6x=50-0.6×62=12.8
这就是说,此时第一列火车已经越过交叉点,它离交叉点的距离是9.6千米。第二列火车此时尚未到达交叉点,它离交叉点的距离是12.8千米。如图19所示,点M和N就是此时两列火车的正确位置,这与一开始画的示意图完全不同。可见,由于正负号的存在,方程帮我们纠正了错误。
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