互素的整数勾股弦数特性，示例多个小于100的勾股弦数

土地测量者在画垂线时，经常会用到一种简单又准确的方法，其步骤如下：

如图13所示：假设要过点A作一条垂直于MN的线，a是任意长度，先沿着AM的方向取a的3倍，再找一根绳子，在上面打三个结，使结与结之间的长度分别是4a和5a，然后把两端的结分别固定在点A和点B上，拉直绳子，另一个结所在的地方就是点C。这样就形成了直角三角形ABC，其中角A为直角。

图13

这是一个很古老的方法，几千年前建造埃及金字塔的人就用过这个方法。它的原理很简单，如果三角形的边长之比为3:4：5，那它必然是直角三角形。根据勾股定理，很容易证明，因为：32+42=52。除了3、4、5，还有很多正整数a、b、c也满足下列等式：

由勾股定律，满足上述条件的a、b、c也被称为“勾股弦数”。其中，a、b称为三角形的“直角边”，也叫“勾”或“股”，c称为三角形的“斜边”，也叫“弦”。

显然，如果a、b、c是满足上面关系的整数，那么pa、pb、pc也满足上面的关系，这里的p是整数。反之，如果满足上面关系的a、b、c有一个共同的乘数，约掉这个乘数，就会得到另一组满足上述关系的整数。所以，这里只讨论最简单的勾股弦数，也就是互素的勾股弦数。

我们知道，在边长a、b、c中，直角边a、b肯定一个是偶数，一个是奇数。因为如果a、b都是偶数的话，那么（a2+b2）也必然是偶数，这样的话，a、b、c一定有公约数2，这与前面假设的a、b、c互素相矛盾。所以，在直角边a、b中，必定有一个是奇数。

那么，有没有可能，直角边a、b都是奇数，而斜边c是偶数呢？同样的方法可以证明，这也是不可能的。如果两个直角边a、b都是奇数，我们可以把它们表示为：

（2x+1）和（2y+1）

那么，它们的平方和就是：

4x2+4x+1+4y2+4y+1

=4（x2+x+y2+y）+2

如果把上面的结果用4除，会得到余数2。但我们知道，如果一个数是偶数，那它的平方一定能够被4整除。所以，这个平方数不会是一个偶数的平方。也就是说，如果a、b都是奇数的话，那么c也一定是奇数。

综上所述，在a、b、c中，直角边a、b必然有一个是奇数，一个是偶数，而斜边c必然是奇数。我们不妨假设直角边a是奇数，b是偶数，根据a2+b2=c2，可得出：

a2=c2-b2=（c+b）（c-b）(www.xing528.com)

右边的两个乘数（c+b）和（c-b）互为素数。

对于上面的结论，我们可以用“反证法”来证明。

假设（c+b）和（c-b）有一个共同的素因数，那么：

两者的和：（c+b）+（c-b）=2c

两者的差：（c+b）-（c-b）=2b

两者的积：（c+b）（c-b）=a2

应该都能够被这个素因数整除。换而言之，2c、2b、a2有公因数。a为奇数，所以这个公因数不可能是2，也就是说，a、b、c应该有公因数，这与假设相矛盾。所以，（c+b）和（c-b）一定互为素数。

既然这两个数互为素数，它们的乘积又是某个数的平方，那它们自己也应该是某个数的平方，也就是说：

解这个方程组，可得：

这样，就得出了a、b、c的值，它们是：

其中，m、n都是奇数，且互为素数。

反过来说，对于任意互为素数的奇数m和n，都能利用上面的公式得出整数勾股弦数a、b、c。下面列出了这样的一些勾股弦数：

从这些数可以看出，它们都是没有公因数的整数勾股弦数，且都小于100。