推算生日，通过数值170推算出生日日期

【题目】下面我们来做一个游戏，看看你对不定方程的解答是否熟练。

请你的朋友把他的生日的日期乘以12，再把生日的月份乘以31，然后把两个数相加的结果告诉你。这时，你就能推算出他的生日了。

比如，你朋友的生日是2月9日，那么，他会这样计算：

9×12=108，2×31=62，108+62=170

所以，他会告诉你结果是170。通过这个数值，你要推算出他的生日。那么，你想到该怎么做了吗？

【解答】根据题意，得出下列方程：

12x+31y=170

其中，x和y都是正整数，且x≤31，y≤12

由于0＜x≤31，0＜y≤12

所以，t1的取值范围是：(www.xing528.com)

由于t1是整数，所以t1只能取0，于是：

x=9，y=2

因此，你朋友的生日是2月9日。

事实上，这个游戏总能够成功，因为这个题目的解只有一个。假设把你朋友告诉你的结果记为a，那么，我们有下面的方程：

12x+31y=a

这里，我们利用“反证法”。假设上面的方程有两个解，分别是x1、y1和x2、y2，其中，x1、x2不大于31，y1、y2不大于12。那么，就有下面的等式：

两式相减，得到：

由于x1、x2、y1、y2都是整数，所以，我们能够得出12（x1-x2）可被31整除。由于x1、x2都不大于31，所以（x1-x2）也小于31。从而，只有在x1=x2时，12（x1-x2）

可被31整除。也就是说，这两个解是相等的。这与前面的假设是矛盾的，因此可以说，前面的方程只有唯一的解。