如何付款：用丢藩图方程解决

【题目】你在商店里看上了一件衣服，它的价格是19卢布。你身上的钱是面值为2卢布的，而商店里的钱都是面值为5卢布的，那么，你该如何付钱呢？

【解答】其实，这个题目可以转化为：你应该给商店几张2卢布的钞票，商店找给你几张5卢布的钞票，使得商店收的钱数刚好是19卢布。题目要求的未知数有两个：一个是2卢布面值钞票的张数x，另一个是5卢布面值钞票的张数y。根据题意，只能得到一个方程，即：

2x-5y=19

对于上面的方程来说，有无数个解。但是，能否找到x和y都是正整数的解呢？这并不容易，所以才要寻找求解这类“不定方程”的方法。首次把这种方法引入代数的是古希腊著名的数学家丢藩图，因此，我们也把这类方程称为“丢藩图方程”。

下面，我们就这个例子来说明这类方程的解法。

现在的问题是，求方程2x-5y=19的解，其中x和y都是正整数。

首先，把方程进行变形，即：

2x=19+5y

所以，有，x=19/2+5y/2=9+2y+（y+1）/2

在上式的右边，9和2y都是正整数，要想x也是正整数，（y+1）/2必须是正整数才行。

设t=（y+1）/2，则有：x=9+2y+t

那么，2t=1+y

y=2t-1

把前面式子中的y用上式中的（2t-1）来代替，则有：

x=9+2（2t-1）+t=5t+7

现在，我们来看这个方程组：

可以看出，如果t是整数，x和y就一定是整数。这里的x和y必须是正整数，也就是说，它们都大于0，即：

解上面的不等式，得到：

所以，t的取值范围是：t＞1/2

由于t是整数，所以t可取下面的数值：

t=1，2，3，4，……(www.xing528.com)

对应的x和y的值分别是：

x=5t+7=12，17，22，27，……

y=2t-1=1，3，5，7，……

现在，你就知道该如何付款了。你给商店12张2卢布面值的钞票，商店找回你1张5卢布面值的钞票：12×2-5=19。或者，你给商店17张2卢布面值的钞票，商店找回你3张5卢布面值的钞票：17×2-3×5=19，等等。

从理论上讲，这个题目有无数个解。但是，对于你和商店来说，不可能有无穷多的钞票。比如，你们双方都只有15张钞票，此时就只有一个解：你给商店12张2卢布面值的钞票，商店找回你1张5卢布面值的钞票。

在这个题目中，如果条件变一下，比如，你只有5卢布面值的钞票，而商店只有2卢布面值的钞票，你可以自己计算一下，很容易得到下面的解：

x=5，7，9，11，……

y=3，8，13，18，……

实际上：

5×5-3×2=19

7×5-8×2=19

9×5-13×2=19

11×5-18×2=19

……

其实，不用重新计算，借助一点简单的代数方法，就能从母题的解法中求出上面题目的解。在上面的题目中，你付给商店5卢布面值的钞票，商店找回你2卢布面值的钞票，就相当于你付了-2卢布面值的钞票，商店找给你-5卢布面值的钞票。所以，仍然可以用前面的方程2x-5y=19来求解，但这里要求x和y都是负数。

所以，由方程组：

得到：

解得：

取t=-2，-3，-4，-5，……就可以得出x和y的值（见右边表格）。

对于第一组解：x=-3，y=-5，意思就是：你付给商店-3张2卢布面值的钞票，而商店找回你-5张5卢布面值的钞票，换句话说，你付给商店5张5卢布面值的钞票，而商店找回你3张2卢布面值的钞票。对于其他的几组解，也可以用同样的方法来解释。