时针和分针对调的实验结果

【题目】相传，有一次爱因斯坦生病了，躺在床上很无聊，他的朋友莫西科夫斯基给他出了一道题，让他打发时间。那道题是这样的：

“有一只钟表，假设表针的初始位置是12点。此时，如果把钟表的长针和短针对调，它们指示的时间还是在合理范围内。但是，在有的时间上，比如6点钟，将表针对调的话，出现的时间就不对了，因为当时针指着12的时候，分针不会指着6。问题来了，当分针和时针分别在什么位置时，两针对调后所指的时间还是合理的？”

爱因斯坦听完后，回答说：“对于病床上的人来说，这确实是一个很好的问题，很有趣，却又不简单。只是，我可能消磨不了多少时间，因为我马上就要计算出来了。”说完，他从床上坐了起来，在纸上画出一个草图。爱因斯坦解答这个题目所花的时间，可能比我描述这个问题所用的时间还短。那么，他是如何解答的呢？

【解答】我们不妨把钟表的一周划分成相等的60份，并以每份为单位，用它来度量表针从12点开始走过的距离。

如图9所示，假设到达题目所求的位置时，时针从12点开始走过x个刻度，分针走过y个刻度。由于时针每12个小时走过60个刻度，所以它每小时走过5个刻度。那么，它走

图9

过x刻度所用的时间就是x/5小时，即钟表从12点开始走到所求的位置，花费了x/5小时。分针走过的刻度是y个，也就是y分钟，相当于y/60小时，即在y/60小时之前，分针从12点的位置经过。换句话说，两个指针在12点的位置重合之后，过去的整小时数是（x/5-y/60）。

（x/5-y/60）肯定是0到11之间的整数，因为该数表示在12点以后正好过去了几个小时。

倘若把两个指针对调，用同样的方法，我们能够计算出从12点开始到表针所指的时间过去的整小时数是（y/5-x/60），该数也是一个从0到11的整数。

把两个方程联立，即：(www.xing528.com)

其中，m和n都是从0到11的整数，解这个方程组，可得：

如果用0到11中的每个整数来代m和n，就能得到题目所求的两个表针所指的所有位置。由于m和n都有12个数，它们的组合就有144个，所以看起来该方程似乎有144个解。但实际上，只有143个，因为当m=n=0和m=n=11的时候，它们所表示的是同一个时间，也就是12点。

在此，我们不逐一讨论，只举两个例子来看：

例1：当m=n=1时，

即，当表针所指的时间是1点5（5/11）分时，两个指针是重合的，它们当然可以进行对调。实际上，只要是两指针重合的时刻，二者都能够进行对调。

例2：当m=8，n=5时，

此时对调前后的时间分别是8点28分53秒和5点42分38秒。

根据前面的分析，这道题一共有143个解，我们可以把钟表的圆周分成均等的143份，这样就得到了这143个点。在这些点上，时针和分针可以对调，而在其他的点上，就不能进行对调。