割草组人数8，最喜欢的趣味代数书

【题目】一个割草组接到了一项任务，要把两块草地上的草割掉，其中大块草地的面积是小块草地面积的2倍。上午，割草组的所有人都在大块草地上割草；下午，他们对半分开，分别到两块草地上割草。到了晚上，大块草地上的草都割完了，小块草地上的草还剩下一小块，需要一个人花一天的时间才能割完。（图6）

图6

假设割草组所有的人割草速度都一样，请问，这个割草组共有多少人？

【解答】假设割草组的人数是x，此外还需要另一个辅助未知数，即每个人每天割草的面积数，可用y来表示。先用x和y表示出大块草地的面积。根据题意，在上午，x个人割草的面积是：

下午，只有一半的人割剩下的草，即只有x/2个人割草，这些人割的草地面积是：

所以，大块草地的面积是：

我们再来看如何用x和y来表示小块草地的面积。下午，x/2个人在这片草地上割了半天，那么，他们割的一共面积是：

这时，还剩下一小片，其面积刚好是y，也就是一个人在一天的时间里割草的面积。所以，小块草地的面积是：

因为大块草地是小块草地面积的2倍，所以：

化简后，可得：

约掉方程左边的辅助未知数y，方程就变成了下面的形式：

即：3x=2x+8(www.xing528.com)

解得：x=8

也就是说，割草组一共有8个人。

在《趣味代数学》第一版出版后，我收到了A.B.齐格教授寄给我的一封信，他在信中谈到了这道题目，并认为这道题的意义在于，它不能算是一道代数题，而是一道简单的算术题，根本没必要用这种死板的公式来求解。

教授还说：“关于这道题的来龙去脉，其实是这样的。我的叔叔伊·拉耶夫斯基和列夫·托尔斯泰是很好的朋友，以前我的父亲和叔叔一起在莫斯科大学数学系学习。当时的数学系课程中，根本没有关于教学法的内容，所以学生们就要到对口的城市公民中学实习，跟那些有经验的中学老师一起探讨教学方法。在他们的同学中，有一位叫彼得罗夫的人，他是一个很有天赋和创造力的人，可惜他身患肺痨，英年早逝。彼得罗夫提出过这样的观点：课堂上教的算术不是教会学生学习，而是毁了学生，因为过于僵化的教学模式会束缚学生的思维，让他们只能用固定的方法解决固定的问题。为了证明自己的观点，他甚至想出了很多题目。这道割草的题目就是其中之一。这些灵活多变的题目难住了那些‘有经验的优秀的中学老师’。那些没有接受过刻板教学的学生，却很容易地解开了这些题目。对于那些有经验的优秀的老师来说，借助方程式或方程组，能够把这道题目解答出来，但是事实上只需要通过简单的算术计算，问题就解决了。”

接下来，我们就看看如何使用简单的算术方法解答这道题。

大块的草地需要全组的人割半天，再加上半组的人割半天，所以半组人在半天的时间里，共可以割这块草地的1/3。所以，小块草地剩下的那块就是1/2-1/3=1/6，而一个人一天刚好可以割完这部分。在一天中，全组人一共割草

图7

的面积是：6/6+1/3=8/6。所以，割草组的总人数就是8人。

托尔斯泰很喜欢这类有变化但又不是太难的问题。当他听到这个题目时，提出该题目还可以通过图形来求解，如图7所示。那是最简单的图，也很容易让人理解。

下面再来看几道题目，这些题目都能用巧妙的方法来求解。