我们刚刚讨论过命题逻辑。命题逻辑研究的是命题，命题是有真假意义的一句话，而对这句话的结构和成分是不考虑的。就是说，一句话不管有多么复杂，不管其中有多复杂的逻辑关系，一律以符号P表示。因此，符号P就删掉了命题丰富的内涵，而只剩下了命题的真或假。很自然，用这样简单的手段，很多思维过程不能在命题逻辑中恰当地表示出来。
例如，逻辑学中著名的三段论法：
所有的人都是要死的，
苏格拉底是人，
所以苏格拉底是要死的。在命题逻辑中就无法表示这种推理过程。因为，如果用P代表“所有的人是要死的”，Q代表“苏格拉底是人”，R代表“苏格拉底是要死的”，按照三段论法，R应该是P和Q的逻辑结果。如果这种三段论法的推理方式对任意这种类型的命题都是正确的，那么如下公式：
P∧Q→R
就应该是一个恒真公式。但是这个公式显然不是恒真公式，因为当P，Q，R真值指派为1，1，0，上面的公式真值即为假。
发生这种情况的原因是：命题逻辑中描述出来的三段论，即P∧Q→R，使R成为一个与P，Q无关的独立命题。因此，取解释时，可将P，Q取真，R取假，从而使公式P∧Q→R为假。但是，实际上命题R和命题P，Q是有关系的，只是这种关系在命题逻辑中无法表示。为了表示出这三个命题的内在关系，我们需要引进谓词的概念。
我们知道，命题是反映判断的句子。一般地说，反映判断的句子是由主语和谓语两部分组成，例如，电子计算机是科学技术的工具。其中“电子计算机”是主语，“是科学技术的工具”是谓语。主语一般是客体，客体可以独立存在，它可以是具体的，也可以是抽象的，例如：电子计算机、学生、老师、唯物主义等。用以刻画客体的性质或关系的词即是谓词。例如，张三是学生，李四是学生，这两个命题可能用不同的符号P，Q表示，但P和Q的谓语有同样的属性：“是个学生”。因此，引入一个符号表示“是个学生”，再引入一种方法表示客体的名称，这样就能把“××是个学生”这个命题的本质属性刻画出来。
在此，我们用大写字母表示谓词，用小写字母表示客体名称，例如，用A表示“是个学生”，用d表示张三，用e表示李四，则A（d），A（e）分别表示“张三是个学生”，“李四是个学生”。
用谓词表达命题，必须包括客体和谓词字母两个部分，一般地说，“b是A”类型的命题可用A（b）来表达。对于“a是小于b”这个两个客体之间关系的命题，可表达为B（a，b），这里B表示“是小于”。又如命题“点a在b与c之中”可以表示为L：……在……和……之中，故可记为L（a，b，c）。
通常，我们把A（b）称作一元谓词，B（a，b）称作二元谓词，L（a，b，c）称作三元谓词，依此类推。一元谓词表达了客体的性质，而多元谓词表达了客体之间的“关系”。
需要注意，代表客体名称的字母，在多元谓词表示式中出现的次序与事先约定有关，因此，未经约定前，记作L（a，b，c）或L（b，c，a）等都可以，一经约定，L（a，b，c）与L（b，c，a）就代表两个不同的命题。
单独一个谓词不是完整的命题，我们把谓词字母后填以客体所谓的式子称为谓词填式，这样，谓词和谓词填式应该是两个不同的概念。
定义1 由一个谓词、一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数。
根据这个定义，n元谓词就是n个客体变元的命题函数。在命题函数中，命题变元（客体变元）的论述范围称作个体域（论域）。
例如，令G（x，y）表示“x高于y”，于是，G（x，y）是一个二元谓词，将x代以个体“张三”，y代以个体“李四”，则G（张三，李四）就是如下一个命题：“张三高于李四”。随便将x，y代以确定的个体，由G（x，y）都能得到一个命题。但是，G（x，y）不是一个命题，而是一个命题函数，即谓词。
于是，用谓词的概念可将三段论法作如下的表示：令
H（x）表示：“x是人”，
M（x）表示：“x要死”，
那么，三段论的三个命题表示如下：
P：H（x）→M（x）， a：苏格拉底，
Q:H(a),
R:M(a),
然后，在命题逻辑的基础上，仅仅引进谓词的概念是否就可以了呢？下面的例子说明，仅
有谓词还是不够的。例如，我们想得到“命题”P的否定“命题”，应该就是“命题”」P。但是
」P⇔」(H(x)→M(x))
⇔」(」H(x)∨M(x))(www.xing528.com)
⇔H(x)∧」M(x),
亦即，“命题”P的否定“命题”是“x是人并且x不死”，即所有人都不死，这和人们日常对命题“所有人都要死”的否定理解相差得实在太远了，其原因在于“命题”P的确切意思应该是：“对任意x，如果x是人，则x要死。”但是，H（x）→M（x）中并没有确切地表示出“对任意x”这个意思，就是说，H（x）→M（x）不是一个命题。因此，在谓词逻辑中，除引进谓词外，还需引进“对任意x”这个语句及其对偶的语句“存在一个x”。
定义2 语句“对任意x”称为全称量词，记作：∀x；语句“存在一个x”称为存在量词，记作∃x。
在这个定义下，命题P就可以以确切的符号表示如下：
∀x(H(x)→M(x))
命题P的否定命题为：
」P⇔」(∀x(H(x)→M(x)))
⇔∃x(H(x)∧」M(x))
亦即，命题P的否定命题是“有一个人是不死的”，这个命题确实是“所有人都要死”的否定。
有了谓词和量词的概念，就可以建立起一阶逻辑了。三段论的三个命题，在一阶逻辑中是这样表示的：
P:∀x(H(x)→M(x)),
Q:H(a),
R:M(a)。
以后可以证明，在谓词逻辑中，R是P和Q的逻辑结果，亦即（P∧Q）→R是恒真的。
例1 用符号表示下列命题：
（1）所有的人都是要呼吸的；
（2）每个学生都要参加考试；
（3）任何整数或是正的，或是负的。
解（1）设M（x）：x是人，H（x）：x要呼吸，则有∀x（M（x）→H（x））。
（2）设P（x）：x是学生，Q（x）：x要参加考试，则有∀x（P（x）→Q（x））。
（3）设Z（x）：x是整数，R（x）：x是正数，N（x）：x是负数，则有∀x（Z（x）→」（R（x）⇆N（x）））。
例2 用符号表示下列命题：
（1）存在一个数是质数；
（2）一些人是聪明的。
解（1）设P（x）：x是质数，则有∃xP（x）。
（2）设M（x）：x是人，R（x）：x是聪明的，则有∃x（M（x）∧R（x））。
由一个或几个简单命题函数以及逻辑联结词组成的表达式称为复合命题函数。
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