定义1 给定两个命题公式A和B，设P1，P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1，P2，…，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价或逻辑相等的，记作A⇔B。
例1 证明」P∨Q⇔P→Q。
证明 列出真值表：
由上表并根据定义可知，」P∨Q⇔P→Q。
例2 证明P⇆Q⇔（P→Q）∧（Q→P）。
证明 列出真值表：
由上表并根据定义知，P⇆Q⇔（P→Q）∧（Q→P）。
类似地，表1所列出的命题定律，都可以用真值表予以验证。
表1
续表
我们已经知道，两个命题公式等价，可以用真值表予以验证。是否还有其他的验证方法呢？我们说还可以用已知的等价式进行推理验证，下面就介绍这种方法。
定义2 如果X是合式公式A的连续的一部分，且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A的子公式。
例如，在公式（P→Q）∧（P∨Q）中，（P→Q）就是（P→Q）∧（P∨Q）的子公式。
定理1 设X是合式公式A的子公式，若X⇔Y，将A中的X用Y来置换，所得到的公式B与公式A等价，即A⇔B。
证明 因为在相应变元的任一种指派下，X与Y的真值相同，故以Y取代X后得到公式B，与公式A在相应的指派下，其真值亦相同，故A⇔B。证毕。
例3 证明Q→（P∨（P∧Q））⇔Q→P。
证明 设A：Q→（P∨（P∧Q）），
因为P∨（P∧Q）⇔P，故B：Q→P，即有A⇔B。
例4 证明（P∧Q）∨（P∧」Q）⇔P。
证明（P∧Q）∨（P∧」Q）⇔P∧（Q∨」Q）⇔P∧T⇔P。
例5 证明 P→（Q→R）⇔Q→（P→R）⇔」R→（Q→」P）。
证明 P→（Q→R）⇔」P∨（」Q∨R）⇔」Q∨（」P∨R）⇔Q→（P→R）。
又 P→（Q→R）⇔」P∨（」Q∨R）⇔R∨（」P∨」Q）⇔」R→（Q→」P）。(www.xing528.com)
定理2 设A，B为两个命题公式，A⇔B当且仅当A⇆B为一重言式。
证明 若A⇔B，则A，B有相同的真值，即A⇆B永真。反之，若A⇆B为永真，由定义知，A，B真值永远相同，故A⇔B。证毕。
例6 证明」（P∧Q）⇔」P∨」Q。
证明 要证」（P∧Q）⇔」P∨」Q，依据定理2，只需证」（P∧Q）⇆」P∨」Q为永真式，列真值表：
故」（P∧Q）⇔」P∨」Q。
我们知道，联结词⇆可以用→来表达，即A⇆B⇔（A→B）∧（B→A）。
定义3 当且仅当P→Q是一个重言式时，我们称“P蕴涵Q”，并记作P⇒Q。
由定义知，要证明P⇒Q，只需证明P→Q为永真式。而P→Q只有当P为T，Q为F时，P→Q为F，其余各种情况均为T，故只需讨论P为T时Q的取值情况（或Q为F时P的取值情况）。
例7 求证」Q∧（P→Q）⇒」P。
证明 方法1：假设」Q∧（P→Q）为T，则」Q和P→Q均为T，故Q为F，P为F，」P为T，所以」Q∧（P→Q）→」P为T。
方法2：假设」P为F，则P为T。若Q为F，则」Q为T，P→Q为F，所以」Q∧（P→Q）为F，故」Q∧（P→Q）→」P为T。若Q为T，则」Q为F，故」Q∧（P→Q）→」P为T，所以」Q∧（P→Q）⇒」P成立。
表2
表2
所列各蕴涵式都可以如上述推理方法证明。
续表
例8 检验下述论证的有效性：
如果我学习，那么我数学不会不及格，如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习。但我数学不及格，因此我热衷于玩扑克。
解 设P：我学习，Q：我数学不及格，R：我热衷于玩扑克。则本题可表示为：
(P→」Q)∧(」R→P)∧Q⇒R
证明上述蕴涵式：假设（P→」Q）∧（」R→P）∧Q为T，则P→」Q，」R→P和Q为T，所以P为F，R为T，因此有（P→」Q）∧（」R→P）∧Q⇒R。本题论述有效。
定理3 设P，Q为任意两个命题公式，P⇔Q的充要条件是P⇒Q且Q⇒P。
证明 必要性：若P⇔Q，则P⇆Q为永真，又因为P⇆Q⇔（P→Q）∧（Q→P），故（P→Q）∧（Q→P）为永真，进而P→Q，Q→P为永真，所以P⇒Q且Q⇒P。
充分性：若P⇒Q且Q⇒P，则P→Q，Q→P为永真，所以（P→Q）∧（Q→P）为永真。因为（P→Q）∧（Q→P）⇔P⇆Q，所以P⇆Q为永真，由定理2知P⇆Q。证毕。
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