离散数学上册：环的概念及相关知识

环是一种重要的抽象代数系统，本节简要介绍环的概念及有关知识。

定义1 设R是一个非空集合，其中有称“加法”和“乘法”两种运算。如果R的两种运算满足如下算律，则R称作是环（R，+，·）：

(1)a+b=b+a;

(2)a+(b+c)=(a+b)+c;

（3）R中有一个元素0，适合a+0=a；

（4）对于R中任意元素a，有（-a），满足：a+（-a）=0；

(5)a(bc)=(ab)c;

(6)a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc。

以上（1）到（4）说明R对于加法构成一个交换群。（5）表示乘法满足结合律。（6）表示乘法对于加法有分配律；由于乘法不一定满足交换律，所以分配律有两个。

例1 整数集合Z对于整数的加法和乘法构成一个环，称为整数环（Z，+，·）。

例2 实数集合上的所有n阶方阵集合An，在矩阵的加法和乘法下构成一个环，称为n阶方阵环（An，+，·）。

例3 字母x的所有整系数多项式集合F（x），在多项式的加法和乘法下构成环，称为多项式环（F[x]，+，·）。

例4 实数集合R、有理数集合Q、复数集合C对数的加法和乘法分别构成环。

例5 仅由数字0构成的集合{0}对数的加法和乘法构成环（{0}，+，·），称为零环。

例6 设Mn是全体整数模n的剩余类。

Mn={[0],[1],…,[n-1]}

其中[i]表示模n余数为i的剩余类，即

对剩余类定义加法和乘法运算如下：

则Mn在剩余类的加法和乘法下是一个环（Mn，+，·），称为剩余类环。

由上面所举的大量例子可以看出，环是应用非常广泛的一种代数系统。

下面我们介绍的一些重要性质，这些性质可以从环的6条基本性质直接推出来。

用数学归纳法，可以把环的分配律推广如下：

因此，当m为任意正整数时，

因为

a(c-b)+ab=a(c-b+b)=ac

所以，

令b=c=0，得a（0-0）=a0-a0=0，即

a0=0

在（2）式中令c=0，得

a(-b)=-ab

同理可证0a=0，（-a）b=-（ab），因此（-a）（-b）=ab。由这些不难看出（1）对任意整数m成立。

设n是任意正整数，正像在群中一样，可以定义an而且证明

am+n=aman,(am)n=amn

按照R的乘法的性质，我们区别于下列各种环：

（1）如果乘法满足交换律：

ab=ba

则R称为交换环。在交换环中，第三指数律成立，即有

(ab)n=anbn

而且用数学归纳法可证二项式定理

（2）如果R不止有一个元素但有一个元素1满足

则我们说R有1。R有1时，R的1是唯一确定的，因若1′也满足（3）式，则1′=1·1′=1。设R有1，取a∈R，且a≠0，则a0=0，而a1=a，故

1≠0(www.xing528.com)

有1的环称为含壹环。

整数环、n阶矩阵环、多项式环都是含壹环，但也有不含壹的环。

例7 所有偶整数在整数的加法及乘法下构成一个环，叫偶数环，偶数环不含壹。

如果（R，+，·）是一个环，R的子集S在运算+，·下也是一个环，则称（S，+，·）是（R，+，·）的子环。

注意，对于乘法群，子群的单位元素与母群的单位元素总是一致的。但对于环来说，一个环的壹却未必与其子环的壹一致，请看下面的例题。

例8 任意域上的所有n（＞1）阶正矩阵构成的环，有壹

其中，所有如下形式的n阶矩阵

构成一个子环，有壹

（3）设a，b是环R的两个元素，如果a≠0，b≠0，但ab=0，则a，b称作R的零因子。如果R无零因子，则称R为没有零因子的环。

R无零因子，必要而且只要在R中消去律成立。因此，无零因子的环又叫消去环。

事实上，设R无零因子，则由a≠0，ab=ac，可得a（b-c）=0，因R无零因子，且a≠0，所以b-c=0即b=c，推出了消去律。反之，若消去律成立，即由a≠0，ab=ac可推出b=c，则R必无零因子。因若ab=0，而a≠0，则因ab=a0，由消去律可得b=0。

整数环、有理数环、实数环、复数环都是无零因子的环，但n阶方阵环有零因子。

例9 n阶矩阵环有零因子。例如，当n=2时，

一方阵为零因子，必要而且只要它是奇异的。因为方程组

有非零解，必要而且只要

（4）有壹无零因子的交换环叫作整区。

整数环、有理数环、实数环、复数环都是整区。

（5）如果去掉0，R的其余元素构成一个乘法群，则称R为体，体有壹而无零因子，其中任意非零元素有逆。域就是交换体，在域中，ab-1可以写成。有理数环、实数环、复数环都是域，但也有不是域的体。

例10 取三个符号i，j，k，以实数a，b，c，d为系数而形成的线性组合

a+bi+cj+dk

这种形式的线性组合叫作四元数。规定两个四元数相加只要把它们的系数相加：

(a1+b1i+c1j+d1k)+(a2+b2i+c2j+d2k)

=(a1+a2)+(b1+b2)i+(c1+c2)j+(d1+d2)k

规定i，j，k之间的乘法如下：

即i2=j2=k2=-1；ij=k，jk=i，ki=j；ji=-k，ik=-j，kj=-i。

两个四元数相乘只要按组合律展开再用上列乘法表示化去i，j，k的乘积项而且并项。例如

(a1+b1i+c1j+d1k)(a2+b2i+c2j+d2k)

=a1a2+a1b2i+a1c2j+a1d2k+b1a2i-b1b2+b1c2k-b1d2j+

c1a2j-c1b2k-c1c2+c1d2i+d1a2k+d1b2j-d1c2i-d1d2

=(a1a2-b1b2-c1c2-d1d2)+(a1b2+b1a2+c1d2-d1c2)i+

(a1c2+c1a2+d1b2-b1d2)j+(a1d2+d1a2+b1c2-c1b2)k

可以证明在这种加法和乘法之下，所有四元数做成一个环。对于四元数

u=a+bi+cj+dk

其共轭四元数定义为：

这样，就是，若u≠0（即若u≠0+0i+0j+0k），则，而

故任意非0四元数有逆。因此，此环是一个体，称为四元数体。由于乘法不满足交换律（例如，ij=k，ji=-k），所以四元数体不是域。

以上罗列了各种环，计有交换环、含壹环、消去环、整区、体、域等。

环R的子集S，如果按R中的加法和乘法也做成一个环，则称S为R的子环。体K的一个子环，若仍为体，则叫子体；若又为域，则叫（K的）子域。同样，对于域F，也可以有F的子环和子域。类似子群中关于子群的定理，可以证明，环R的子集S做成子环，必要而且只要

（1）S非空；

（2）若a∈S，b∈S，则a-b∈S；

（3）若a∈S，b∈S，则ab∈S。