离散数学：陪集与拉格朗日定理

陪集是群论中的一个重要概念，在介绍陪集之前，我们先引进群中元素间一种重要的关系——合同关系。

定义1 设＜G；*＞是一个群，＜H；*＞是G的一个子群，a和b是G中的两个元素，如果存在H中的元素h，使得a=bh，则称a合同于b（左模H），记作

换句话说，如果a等于H的一个元素右乘b，则称a合同于b（左模H）。

容易证明：合同关系是G中的等价关系，这是因为：

（1）a≡a。因为a=ae，e∈H。

（2）若a≡b，则b≡a。因a≡bh，h∈H可以推出b=ah-1，而h-1∈H。

（3）若a≡b，b≡c，则a≡c。因为a=bh，b=ck，可得a=ckh=c（kh），其中kh∈H。

既然合同关系（左模H）是一个等价关系，所以G分成了所有等价类的并集，每一个这样的等价类叫作H的一个左陪集。据此，我们有如下的关于陪集的定义。

定义2 设＜G；*＞是群，＜H；*＞是G的子群，则G的关于H的合同关系（左模H）的等价类叫作H的左陪集。

显然，包含a的左陪集，也就是以H的所有元素右乘a所得的集合aH，H本身显然也是H的一个左陪集。

与上面的定义类似，也可以定义合同关系a合同于b（右模H）以及H的右陪集。

例1 设＜Z；+＞是所有整数的加法群，＜H；+＞是正常数m的所有倍数做成的子群。因为加法满足交换律，所以左右之分不存在，因而，左模H合同与左模H合同是一样的，左右陪集也是一样的。易见等于说a和b被m除具有相同的余数。例如，设m=3，则

H={…,-6,-3,0,3,6,…}

而H的3个陪集是H，H+1，H+2，其中H+1和H+2分别为

H+1={…,-5,-2,1,4,7,…}

H+2={…,-4,-1,2,5,8,…}

例2 设G是所有非零复数的乘法群，所有模等于1的复数做成G的一个子群H，等于说a和b两个复数具有相等的模。在复平面上，H相当于单位圆。H的所有陪集相当于以原点为心的所有同心圆。

若＜G；*＞是一个有限群，＜H；*＞是G的一个子群，则可按如下方式求出H的所有左陪集：首先，H本身是一个左陪集；任取a∉H而求aH又得到一个左陪集；再任取b∉H∪aH而求bH又得到一个左陪集；依次类推，因G有限，最后必被穷尽，从而得到

G=H∪aH∪bH∪…

定理1 设＜H；*＞是群＜G；*＞的有限子群，则H的任意左陪集aH的基数皆等于群H的基数。

证明 因为群＜H；*＞是有限子群，所以可设

H={h1,h2,…,hn}

其中，n是子群＜H；*＞中元素个数。

aH={ah1,ah2,…,ahn}

我们证明aH中的n个元素是彼此不同的，也就证明了恰有n个元素。事实上，若i≠j，而ahi=ahj，则有a-1（ahi）=a-1（ahj），即hi=hj，推出矛盾。

若＜G；*＞是交换群，则左右陪集没有什么区别。若＜G；*＞不是交换群，则左右陪集可能有区别，也可能没有区别，如果H的左右陪集没有区别，则H叫作G的一个正规子群。

例3 设G=R×R，R为实数集，G上的一个二元运算+定义为

＜x1,y1＞+＜x2,y2＞=＜x1+x2,y1+y2＞

显然，＜G；*＞是一个具有幺元＜0，0＞的阿贝尔群。设H={＜x，y＞|y=2x}。那么，很容易验证＜H；+＞是＜G；+＞的子群。对于＜x0，y0＞∈G，H关于＜x0，y0＞的左陪集为＜x0，y0＞H。这个例子的几何意义为：G是笛卡儿平面，H是通过原点的直线y=2x，陪集＜x0，y0＞H是通过点＜x0，y0＞且平行于H的直线。如图1所示。

对于有限群，有下面一个很重要的结论。

定理2（拉格朗日定理）

设＜H；*＞是群＜G；*＞的一个子群，那么(www.xing528.com)

（1）R={＜a，b＞|a∈G，b∈G且a-1*b∈H}是G中的一个等价关系。对于a∈G，若记[a]R={x|x∈G且＜a，x＞∈R}，则

[a]R=aH

（2）如果G是有限群，|G|=n，|H|=m，则m|n。

证明（1）对于任一a∈G，必有a-1∈G，使a-1*a=e∈H，所以，＜a，a＞∈R。

若＜a，b＞∈R，则a-1*b∈H，因为H是G的子群，故

(a-1*b)-1=b-1*a∈H

所以，＜b，a＞∈R。

若＜a，b＞∈R，＜b，c＞∈R，则a-1*b∈H，b-1*c∈H，所以a-1*b*b-1*c=a-1*c∈H，＜a，c＞∈R。这就证明了R是G中的一个等价关系。

对于a∈G，我们有：b∈[a]R当且仅当，即当且仅当a-1*b∈H，而a-1*b∈H就是b∈aH。因此，[a]R=aH。

（2）由于R是G中的一个等价关系，所以必定将G划分成不同的等价类[a1]R，[a2]R，…，[ak]R，使得

又因H中任意两个不同的元素h1，h2，a∈G，必有a*h1≠a*h2，所以|aiH|=|H|=m，i=1，2，…，k。因此

根据拉格朗日定理，可直接得到以下几个推论。

推论1 任何质数阶的群不可能有非平凡子群。

这是因为，如果有非平凡子群，那么该子群的阶必定是原来群的阶的一个因子，这就与原来群的阶是质数相矛盾。

推论2 设＜G；*＞是n阶有限群，那么对任意的a∈G，a的阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群＜G；*＞中的幺元。如果n为质数，则＜G；*＞必是循环群。

这是因为，由G中的任意元素a生成的循环群

H={ai|i∈Z,a∈G}

一定是G的一个子群。如果H的阶是m，那么由本章第四节定理10可知am=e，即a的阶等于m。由拉格朗日定理必有n=mk，k∈N，因此，a的阶m是n的因子，且有

an=amk=(am)k=ek=e

因为质数阶群只有平凡子群，所以，质数阶群必定是循环群。必须注意群的阶与元素的阶这两个概念的不同。

例4 设K={e，a，b，c}，在K上定义二元运算*如表1所示。

证明＜K；*＞是一个群，但不是循环群。

证明 由表1可知，运算*是封闭的和可结合的。幺元是e，每个元素的逆元是自身，所以＜K；*＞是群，因为a，b，c都是二阶元，故＜K；*＞不是循环群。我们称＜K；*＞为Klein四元群。

表1

例如，S={1，2，3，4}，置换群

就是一个Klein四元群。

例5 任何一个四阶群只可能是四阶循环群或者Klein四元群。

证明 设四阶群为＜{e，a，b，c}；*＞，其中e是幺元。当四阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群。

当四阶群不含有四阶元素时，则由推论2可知，除幺元e外，a，b，c的阶一定是都是2。a*b不可能等于a，b或e，否则将导致b=e，a=e或a=b的矛盾，所以a*b=c。同样地有b*a=c以及a*c=c*a=b，b*c=c*b=a。因此，这个群是Klein四元群。