离散数学上册|第四节：群与子群：群中不存在零元

定义1 设＜G；*＞是一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，如果

（1）运算*是封闭的；

（2）运算*是可结合的；

（3）存在幺元e；

（4）对于每一个元素x∈G，存在着它的逆元x-1。则称＜G；*＞是一个群。

定义2 如果群＜G；*＞的运算*是可交换的，则称该群为交换群或阿贝尔（N.H.Abel，1802-1829，挪威数学家）群。

例1 二元代数＜Z；+＞是一个群，这里运算+是通常的加法，单位元是0，每一个整数i的逆元是-i。由于加法运算是可交换的，因此＜Z；+＞是一个阿贝尔群。

例2 二元代数＜Q-{0}；·＞，其中·是通常的乘法，是一个阿贝尔群。其单位元是1，每一个有理数q的逆元是。

例3 独异点＜Z+；+＞和＜Z；·＞都不是群。因为在＜Z+；+＞中无幺元且每一个元素都没有逆元。在＜Z；·＞中除±1外，每一元素都没有逆元。

定义3 设S是一个非空有限集合，从集合S到集合S的一个双射称为S的一个置换。

例如 S={a，b，c，d}

映射α：

是一个置换，可表示为

例4 集合A={a，b，c}上的所有置换的集合P={1，α，β，γ，δ，ε}，其中

由于集合A上置换的集合对于置换的复合运算是封闭的，因此我们可以定义代数系统＜P；·＞，其运算·表示集合A上的置换的复合运算。p和q的复合p·q（p，q∈P）是表示置换p后再接着置换q所产生的一种置换。

例如

运算·的运算表列在表1中。

表1

置换的复合就是函数的右复合，因此·是可结合的。显然，恒等置换1是其单位元。每一个置换都有逆置换，即逆元（1-1=1，α-1=α，β-1=β，γ-1=δ，δ-1=γ，ε-1=ε）。因此＜P；·＞是一个群。由运算表关于主对角线不是对称的这一事实可知，＜P；·＞不是阿贝尔群。

定义4 设＜G；*＞是一个群。如果G是有限集，那么称＜G；*＞为有限群，G中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记为|G|；如果G是无限集，则称＜G；*＞为无限群。

例4中所述的＜P；·＞就是一个有限群，且|P|=6。

至此，我们可以概括地说：广群仅仅是一个具有封闭二元运算的非空集合；半群是一个具有结合运算的广群；独异点是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。即有：{阿贝尔群}⊂{群}⊂{独异点}⊂{半群}⊂{广群}，亦可由图1说明。

由本章第二节定理2可知，群中任何一个元素的逆元必定是唯一的。由群中逆元的唯一性，我们可以有以下几个定理。

定理1 群中不可能有零元。

证明 当群的阶为1时，它的唯一元素视为幺元。

设|G|＞1且群＜G；*＞有零元θ，那么群中任何元素x∈G，都有x*θ=θ*x=θ≠e，所以，零元θ就不存在逆元，这与＜G；*＞是群相矛盾。

定理2 如果＜G；*＞是一个群，则对于任意a，b∈G，

（1）存在唯一的元素x∈G，使得a*x=b；

（2）存在唯一的元素y∈G，使得y*a=b。

证明（1）因为a*（a-1*b）=（a*a-1）*b=e*b=b，所以至少存在一个元素x=a-1*b，满足a*x=b。现设x′∈G也使得a*x′=b成立，则x′=e*x′=（a-1*a）*x′=a-1*（a*x′）=a-1*b。因此，x=a-1*b是满足a*x=b的唯一元素。

（2）用类似的方法可以证明y=b*a-1是G中满足y*a=b的唯一元素。证毕。

定理3 如果＜G；*＞是一个群，则对于任意的a，b，c∈G，

（1）若a*b=a*c，则有b=c；

（2）若b*a=c*a，则有b=c。

定理4 群＜G；*＞的运算表中的每一行或每一列都是G的元素的一个置换。

证明 首先，证明运算表中的任一行或任一列所含G中的一个元素不可能多于一次。用反证法，如果对应于元素a∈G的那一行中有两个元素是c，即有

a*b1=a*b2=c，且b1≠b2

由消去律可得b1=b2，这与b1≠b2矛盾。

其次，要证明G中的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。考察对应于元素a∈G的那一行，设b是G中的任一元素，由于b=a*（a-1*b），所以b必定出现在对应于a的那一行中。

再由运算表中没有两行（或两列）相同的事实，便可得出：＜G；*＞的运算表中每一行都是G的元素的一个置换，且每一行都是不相同的。同样的结论对于列也是成立的。

定义5 代数系统＜G；*＞中，如果存在a∈G，有a*a=a，则称a为等幂元。

定理5 在群＜A，*＞中，除幺元e外，不可能有任何别的等幂元。

证明 因为e*e=e，所以e是等幂元。

现设

a∈A，a≠e，且a*a=a

则有

a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)

=a-1*a=e

与假设a≠e相矛盾。

下面介绍子群的概念。

定义6 设＜G；*＞是一个群，S是G的非空子集，如果＜S；*＞也构成群，称＜S；*＞是＜G；*＞的一个子群。

定理6 设＜G；*＞是一个群，＜S，*＞是＜G；*＞的一个子群，那么＜G；*＞中的幺元e必定也是＜S；*＞中的幺元。

证明 设＜S；*＞中的幺元为e1，对于任一x∈S⊆G，必有

e1*x=x=e*x，故e1=e

定义7 设＜G；*＞是一个群，＜S；*＞是＜G；*＞的一个子群，如果S={e}，或者S=G，则称＜S；*＞为＜G；*＞的平凡子群。

例5 ＜Z；+＞是一个群，设Ie={x|x=2n，n∈Z}，证明＜Ie，+＞是＜Z；+＞的一个子群。(www.xing528.com)

证明（1）对于任意的x，y∈Ie，不妨设x=2n1，y=2n2，n1，n2∈Z，则

x+y=2n1+2n2=2(n1+n2)

而

n1+n2∈Z

所以

x+y∈Ie

即+在Ie上封闭。

（2）运算+在Ie上保持可结合性。

（3）＜Z；+＞中的幺元0也在Ie中。

（4）对于任意的x∈Ie，必有n使得x=2n，而-x=-2n=2（-n），-n∈Z，所以-x∈Ie，而x+（-x）=0，因此，＜Ie，+＞是＜Z；+＞的一个子群。

定理7 设＜G；*＞是一个群，B是G的非空子集，如果B是一个有限集，那么，只要运算*在B上封闭，＜B，*＞必定是＜G，*＞的子群。

证明 设b是B中的任何一个元素。若*在B上封闭，则元素b2=b*b，b3=b2*b，…都在B中。由于B是有限集，所以必存在正整数i和j，不妨假设i＜j，使得

bi=bj

即

bi=bi*bj-i

这就说明bj-i是＜G；*＞中的幺元，且这个幺元也在子集B中。

如果j-i＞1，那么由bj-i=b*bj-i-1可知bj-i-1是b的逆元，且bj-i-1∈B，如果j-i=1，那么由bi=bi*b可知b就是幺元，而幺元是以自身为逆元的。

因此，＜B；*＞是＜A；*＞的一个子群。

定理8 设＜G；Δ＞是群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有aΔb-1∈S，则＜S，Δ＞是＜G，Δ＞的子群。

证明 首先证明，G中的幺元e也是S中的幺元。

任取S中的元素a，a∈S⊆G，aΔa-1∈S，且aΔe=eΔa=a，即e也是S中的幺元。

其次证明，S中的每一元素都有逆元。

对任一a∈S，因为e∈S，所以eΔa-1∈S即a-1∈S。

最后证明，Δ在S上是封闭的。

对于任意的a，b∈S，由上可知b-1∈S。

而

b=(b-1)-1

所以

aΔb=aΔ(b-1)-1∈S

至于，运算Δ在S上的可结合性是保持的。因此，＜S；Δ＞是＜G；Δ＞的子群。

例6 设＜H；*＞和＜K；*＞都是群＜G；*＞的子群，证明＜H∩K；*＞也是＜G；*＞的子群。

证明 任意a，b∈H∩K，则a，b∈K，a，b∈H。因为＜H；*＞，＜K；*＞都是群＜G；*＞的子群，b-1∈H，且b-1∈K，所以b-1∈H∩K。由于*在H和K中的封闭性，所以a*b-1∈H∩K，由定理8即得＜H∩K；*＞是＜G；*＞的子群。证毕。

最后，我们介绍一种特殊的群——循环群。

定义8 设＜G；*＞为群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。

定理9 任何一个循环群必定是阿贝尔群。

证明 设＜G；*＞是一个循环群，它的生成元素是a，那么，对于任意的x，y∈G，必有r，s∈I，使得

x=ar和y=as

而且

x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x

因此，＜G；*＞是一个阿贝尔群。

对于循环群，有下面的定理。

定理10 设＜G；*＞是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G的阶数是n，即|G|=n，则an=e，且

G={a,a2,a3,…,an-1,an=e}

其中，e是＜G；*＞中的幺元，n是使an=e的最小正整数（称n为元素a的阶）。

证明 假设对于某个正整数m，m＜n，有am=e。那么，由于＜G；*＞是一个循环群，所以G中的任何元素都能写为ak（k∈Z）而且k=mq+r，其中，q是某个整数，0≤r≤m。这就有

ak=amq+r=(am)q*ar=ar

这就导致G中的每一个元素都可表示成ar（0≤r≤m），这样，G中最多有m个不同元素，与|G|=n相矛盾。所以，am=e（m＜n）是不可能的。

进一步证明a1，a2，…，an都不相同。用反证法。假设ai=aj，其中1≤i＜j≤n，就有aj-i=e，而且1≤j-i＜n，这已经由上面证明是不可能的，所以，a，a2，…，an都不相同，因此

G={a,a2,a3,…,an=e}

例7 设G={α，β，γ，δ}，在G上定义二元运算*如表2所示。

说明＜G；*＞是一个循环群。

解 由运算表2可知运算*是封闭的，α是幺元。β，γ和δ的逆元分别是β，δ和γ。可以验证运算*是可结合的，所以＜G；*＞是一个群。

表2

在这个群中，由于

γ*γ=γ2=β, γ3=δ,γ4=α

以及

δ*δ=δ2=β,δ3=γ,δ4=α

故群＜G*；＞是由γ或δ生成的，因此，＜G；*＞是一个循环群。

从例3中可以看出，一个循环群的生成元可以是不唯一的。