离散数学-代数系统的概念及性质

定义1 一个非空集合和定义在该集合上的一个或多个运算f1，f2，…，fn所组成的系统称为一个代数系统，用记号＜A；f1，f2，…，fn＞表示，其中，A是非空集合，称为这个代数系统的域；f1，f2，…，fn是A上的运算。注意，集合A上的各个运算可以是具有不同阶的运算。

例1 设RA表示集合A上所有关系的集合，·是求复合关系的运算。显然RA对运算·是封闭的，因此它们可以构成一个代数系统＜RA；·＞，其中·是RA上的二元运算。

例2 全集E的幂集2E对于集合的∪，∩运算显然是封闭的，因此可以构成代数系统＜2E，∪，∩＞，这里，2E是一元运算；∪和∩是二元运算。

例3 整数集Z和定义在其上的通常的加法与乘法运算组成一个代数系统，记作＜Z；+，·＞，这两个运算都是Z上的二元运算，具有如下的一些重要性质：

（1）交换律

对任意的i，j∈Z，i+j=j+i，i·j=j·i。

（2）结合律

对任意的i，j，k∈Z，i+（j+k）=（i+j）+k，i·（j·k）=（i·j）·k。

（3）分配律

对任意的i，j，k∈Z，i·（j+k）=i·j+i·k。

（4）单位元

Z含有特殊的元素0和1，使得对于任意的i∈Z，i+0=0+i=i，1·i=i·1=i。

（5）关于加法的可逆性

对于每一元的i∈Z，都有一元素-i∈Z，使得（-i）+i=i+（-i）=0。

（6）消去律

如果i≠0，则对任意的j，k∈Z，由i·k=i·j，可得j=k。

例4 实数集R和定义在其上的通常的加法和乘法运算组成代数系统＜R；+，·＞。容易验证＜R；+，·＞具有上述对于代数系统＜Z；+，·＞所列出的全部性质。

例5 设有集合B={a，b}和由表1给出的B上的运算+和·：

表1

容易验证，代数系统＜B；+，·＞也具有对＜Z；+，·＞所列出的全部性质。这里加法的幺元是a，乘法的幺元是b。

此外，有理数集Q和其上定义的通常的加法与乘法运算组成的代数系统＜Q；+，·＞也具有对＜Z；+，·＞所列出的全部性质。

上述这些例子表明，不同的代数系统可能具有一些共同的性质。这一事实启发我们，不必一个一个地去研究各个代数系统，而是列出一组性质，把这一组性质看作是公理，我们研究满足这些公理的抽象的代数系统。在这样的抽象代数系统里，由这些公理推导出的任何有效的结论（定理），对于满足这组公理的任何代数系统将都是成立的。为了作这样的讨论，我们将不考虑任何特定的集合，也不给所具有的运算赋予任何特定的含义，这种系统的集合和运算仅仅是一些抽象的记号。

定理1 设＜A，*＞是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。如果该代数系统中存在幺元e和零元θ，则θ≠e。

证明 用反证法。设θ=e，那么对于任意的x∈A，必有

x=e*x=θ*x=θ=e

于是，A中的所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。

定义2 设代数系统＜A，*＞，这里*是定义在A上的一个二元运算，且e是A中关于运算*的幺元。如果对于A中的一个元素a存在着A中的某个元素b，使得b*a=e，那么称b为a的左逆元；如果a*b=e成立，那么称b为a的右逆元；如果一个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么就称b是a的一个逆元。

很明显，如果b是a的逆元，那么a也是b的逆元，简称为a与b互为逆元。今后，一个元x的逆元记为x-1。

一般地说，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元。而且，一个元素可以有左逆元而没有右逆元，甚至一个元素的左（右）逆元还可以不唯一。

例6 设集合S={α，β，γ，δ，ζ}，定义在S上的一个二元运算*如表2所示。

表2

试指出代数系统＜S，*＞中各个元素的左、右逆元情况。(www.xing528.com)

解 α是幺元；β的左逆元和右逆元都是γ，即β和γ互为逆元；δ的左逆元是γ，而右逆元是β；β有两个左逆元γ和δ；ζ的右逆元是γ，但ζ没有左逆元。

定理2 设代数系统＜A，*＞，这里*是定义在A上的一个二元运算，A中存在幺元e，且每一个元素都有左逆元。如果*是可结合的运算，那么，这个代数系统中的任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。

证明 设a，b，c∈A，且b是a的左逆元，c是b的左逆元。因为

(b*a)*b=e*b=b

所以

e=c*b=c*((b*a)*b)

=(c*(b*a))*b

=((c*b)*a)*b

=(e*a)*b

=a*b,

因此，b也是a的右逆元。

设元素a有两个逆元b和c，那么

b=b*e=b*(a*c)

=(b*a)*c

=e*c

=c,

因此，a的逆元是唯一的。

例7 试构造一个代数系统，使得其中只有一个元素具有逆元。

解 设m，n∈Z，T={x|x∈Z，m≤x≤n}，那么，代数系统＜T，max＞中有一个幺元是m，且只有m有逆元，因为max（m，m）=m。

例8 对于代数系统＜R，·＞这里R是实数的全体，·是普通的乘法运算，是否每个元素都有逆元。

解 该代数系统中的幺元是1，除了零元素0外，所有的元素都有逆元。

例9 对于代数系统＜Nk，+k＞，这里Nk={0，1，2，…，k-1}，+k是定义在Nk上的模K加法运算，定义如下：

对于任意x，y∈Nk，

试问是否每个元素都有逆元。

解 可以验证+k是一个可结合的二元运算，Nk中关于运算+k的幺元是0，Nk中的每一个元素都有唯一的逆元，即0的逆元是0，每个非零元素x的逆元是k-x。

可以指出：＜A，*＞是一个代数系统，*是A上的一个二元运算，那么该运算的有些性质可以从运算表中直接看出。那就是：

（1）运算*具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于A。

（2）运算*具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。

（3）运算*具有等幂性，当且仅当运算表的主对角线上的每一个元素与它所在行（列）的表头元素相同。

（4）A中关于*有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中的元素都与该元相同。

（5）A中关于*有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。

（6）设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所在行、b所在列的元素以及b所在行、a所在列的元素都是幺元。