基数的比较：证明、方法及无限集

在上一节我们论述了可数集和一些不可数集的基数概念。为了证明两个集合的基数相等，我们必须构造两个集合之间的双射函数，这常常是非常困难的工作。下面将介绍证明基数相等的一个较为简单的方法，为此先说明基数是如何比较大小的。

定义1 若从集合A到集合B存在一个入射，则称A的基数不大于B的基数，记作K[A]＜K[B]。

下面两个定理限于篇幅，不用证明，但可以是任意集合，则以下三条中恰有一条成立：

(1)K[A]＜K[B];

(2)K[B]＜K[A];

(3)K[A]=K[B]。

定理1（Cantor-Schroder-Bernstein定理）设A和B是集合，如果K[A]≤K[B]，K[B]≤K[A]，则

K[A]=K[B]

这个定理对证明集合有相同的基数提供了有效方法，如果我们能够构造一入射函数f：A→B，即说明有K[A]≤K[B]，另外，如能够构造入射函数g：B→A，即有K[A]≤K[B]，因此根据本定理就得到K[A]=K[B]。

例1 证明[0，1]与（0，1）有相同的基数。

证明 作入射：

例2 设A=N，B=（0，1），K[A]=Ψ0，K[B]=Ψ，求证

K[A×B]=Ψ

证明 定义一个从A×B到正实数的函数f。

f:A×B→{x|x∈R+}

f(n,x)=n+x

因为f是入射，且K[A×B]≤Ψ，此外，作映射g：（0，1）→A×B

g(x)=＜0,x＞

因为g是入射的，故Ψ≤K[A×B]。因此

K[A×B]=Ψ

定理2 设A是有限集合，则K[A]＜Ψ0＜Ψ。

证明 设K[A]=n，则A～{0，1，2，…，n-1}。定义映射f：{0，1，2，…，n-1}→N，f（x）=x；f是入射映射，故

K[A]≤K[N](www.xing528.com)

故K[A]＜K[N]，即K[A]＜Ψ。

又作映射f：N→[0，1]，，g是入射，故Ψ0≤Ψ。

因为N与[0，1]间不能一一对应，故Ψ0≠Ψ，因此Ψ0＜Ψ。

定理3 如果A是无限集，那么Ψ0≤K[A]。

证明 因为A是无限集，故A必包含一个可数无限子集A′，作映射f：A′→A，使得f（x）=x，对x∈A′，f是入射，故K[A′]≤K[A]。

但K[A′]=Ψ0，因此Ψ0≤K[A]。

尽管我们证明了Ψ0＜Ψ，以及Ψ0≤K[A]，但是直到目前为止还没有人能够证明是否有一无限集，其基数严格介于Ψ0与Ψ之间。

假定Ψ是大于Ψ0的最小基数，即不存在任何基数K[S]，使Ψ0＜K[S]＜Ψ成立，这就是著名的连续统假设。

最后我们指出，没有最大的基数和没有最大的集合。

定理4（Cantor定理）设M是一个集合，T=ρ（M），

则

K[M]＜K[T]

证明（1）首先证明K[M]≤K[T]。为此作函数f：M→ρ（M），使得f（a）={a}，则f是入射函数，故K[M]≤K[T]。

（2）其次我们证明K[M]≠K[T]。

反之，若K[M]=K[T]，则必有函数φ：M→T是双射函数。对于任意m∈M，必有T中唯一的φ（m）与之对应，即m→φ（m）。

若m∈φ（m），称m为M的内部元素，若m∉φ（m），称m为M的外部元素。

设S={x|x∈M，x∉φ（x）}，即S为M的外部元素集合，则有S⊆M，故S∈T。

因为φ是双射函数，故必有一个元素b∈M，使φ（b）=S。

若b∈S，因为φ（b）=S，此时b为M的内部元素，得出矛盾。（S是外部元素等）。

若b∉S，因为φ（b）=S，此时b为M的内部元素，也得出矛盾。（b为外部元素，所以b∈S与b∉S矛盾）。

故K[M]≠K[T]，由a），b）得到K[M]＜K[T]。证毕。