在关系的定义中曾指出，从集合A到集合B的关系R，其逆关系R-1是B到A的关系，就是说，（y，x）∈R-1等价于（x，y）∈R。但是对于映射就不能通过简单的交换序偶的元素来得到逆映射。这是因为，若有映射σ：A→B，它的值域Rσ可能只是B的一个真子集，即Rσ⊂B，因为R-1σ⊂B不符合函数定义域的要求。此外，若是
的映射是一个多对一映射，即有（x1，y）∈σ，（x2，y）∈σ，其逆关系（y，x1）∈σ-1，（y，x2）∈σ-1，这就违反函数唯一性的要求。为此，我们需对映射求逆规定一些条件。
定义1 设σ：A→B是双射，σ的逆关系称为σ的逆映射，记作σ-1：B→A，（也称逆函数）。
如果σ存在逆映射，则称σ是可逆的。
例1 设集合A={1，2，3}，B={a，b，c}，σ：A→B为σ={（1，a），（2，b），（3，c）}，求σ-1。
解 σ-1：B→A，故σ-1={（a，1），（b，2），（c，3）}。
关于逆映射，有下面两个重要定理。
定理1 设σ：A→B是双射，则σ-1：B→A也是双射。
证明 因为σ：A→B是双射，根据逆映射定义，σ-1：B→A肯定是映射，下面只要证明σ-1：B→A既是满射又是单射即可。
对于任意元素a∈A，由映射σ的定义，B中必有一元素b，使σ（a）=b，又由逆映射定义，σ-1（b）=a，即a∈σ-1（B），由于a是任意的，所以σ-1是满射。
又设b1，b2∈B，且b1≠b2，由双射的定义可知，A中必有两个元素a1，a2，且a1≠a2，满足σ（a1）=b1，σ（a2）=b2，于是σ-1（b1）=a1，σ-1（b2）=a2，且σ-1（b1）≠σ-1（b2），所以σ-1是单射的，因此σ-1：B→A是双射。证毕。
定理2 设映射σ：A→B是一个双射，则（σ-1）-1=σ。
证明 由定理1可知，若σ：A→B是双射，则σ-1：B→A也是双射，这样（σ-1）-1与σ都是从A到B的双射。
对于任意的a∈A，设σ（a）=b，有σ-1（b）=a，从而（σ-1）-1（a）=b，于是σ（a）=（σ-1）-1（a），由于a是任意的，即可得（σ-1）-1=σ。证毕。
定义2 设σ：A→B，τ：B→C，则A到C的映射τ·σ={（x，z）|x∈A，z∈C，且存在y使y∈B。且y=σ（x），z=τ（y）}称作σ与τ的复合函数，简记作τσ。
需要注意的是，当复合关系是一个复合函数时，在它的表示符号中颠倒了σ与τ的位置而写成τσ，目的是将变元放在函数符号的右侧τ·σ（x）=τ（σ（x）），因此也常称为τ对σ的左复合，体现先写出的后进行。
例2 设集合A={1，2，3}，B={p，q}，C={a，b}，σ={（1，p），（2，p），（3，q）}，τ={（p，b），（q，b）}，试求τ·σ。
解 τ·σ={（1，b），（2，b），（3，b）}，是一个从A到C的复合函数。
例3 设集合A={a，b，c}，σ和τ都是从A到A的函数，若σ={（a，b），（b，a），（c，c）}，τ={（a，c），（b，b），（c，b）}，求复合函数。
由例3可见，τ·σ≠σ·τ，所以复合函数不满足交换律，这与关系的复合是一样的。
例4 设R是实数集合，对于任意x∈R，有映射σ（x）=x+3，τ（x）=2x+5，
试求复合函数τ·σ，σ·τ，σ·σ，τ·τ，σ·φ，φ·τ和σ·φ·τ。
下面给出关于复合函数的几个性质：(www.xing528.com)
性质1 设映射σ：A→B，τ：B→C，φ：C→D，则φ·（τ·σ）=（φ·τ）·σ（满足结合律）
证明 由函数与复合函数的定义可知，φ·（τ·σ）与（φ·τ）·σ都是A→C的复合函数。
对于任意a∈A，设σ（a）=b，τ（b）=c，φ（c）=d，其中b∈B，c∈C，d∈D，则
由于a的任意性，所以φ·（τ·σ）=（φ·τ）·σ。证毕。
性质2 设σ：A→B，τ：B→C，τ·σ：A→C，则
（1）若σ与τ都是满射，则τ·σ也是满射；
（2）若σ与τ都是单射，则τ·σ也是单射；
（3）若σ与τ都是双射，则τ·σ也是双射。
证明（1）设任意c∈C，由于映射τ是满射，所以存在某个b∈B，使得τ（b）=c，又由于映射σ也是满射，也必有某个a∈A，使得σ（a）=b，于是τ·σ（a）=τ（b）=c，因此τ·σ是满射。
（2）设任意a1，a2∈A，且a1≠a2，由于映射σ是单射，所以σ（a1）≠σ（a2），又由于映射τ也是单射，所以τ（σ（a1））≠τ（σ（a2）），因此，由a1≠a2，可得（τ·σ）（a1）≠（τ·σ）（a2），故τ·σ是单射。
（3）由于映射τ和σ都是双射，由（1）和（2）可以得出τ·σ既是满射又是单射，所以τ·σ也是双射。证毕。
此性质仅部分可逆，具体情况由下述定理给出：
性质3 设函数σ：A→B，τ：B→C，且有复合函数τ·σ：A→C，则
（1）若τ·σ是满射，则τ是满射；
（2）若τ·σ是单射，则σ是单射；
（3）若τ·σ是双射，则τ是满射，σ是单射。
证明（1）设复合函数τ·σ：A→C，并且τ·σ是满射，则τ·σ的值域Rτ·σ=C。
对于任意的c∈C，一定存在某个a∈A，并有（τ·σ）（a）=c与（τ·σ）（a）=τ（σ（a））=τ（b）=c，这样可得τ的值域Rτ=Rτ·σ=C，因此τ是满射。
（2）、（3）可由读者自行证明。证毕。
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